Aritmética | MCD
¡Bienvenido a la sección de Máximo Común Divisor!
Aquí encontrarás recursos, explicaciones y herramientas diseñadas para ayudarte a comprender y dominar los procesos para hallar el máximo común divisor.
Ya sea que estés comenzando a explorar este tema o buscando reforzar tus conocimientos, esta sección te guiará paso a paso con ejemplos claros y ejercicios prácticos.
1. Máximo Común Divisor
1.1. Definición
1.1. Definición
El máximo común divisor de dos o más números es el mayor de los divisores comunes de dichos números.
Si a, b y c son números naturales, el máximo común divisor de a, b, c se simboliza
\[mcd (a, b, c)\]
Existen dos métodos para hallar el máximo común divisor de dos o más números:
1. Utilizando los conjuntos de divisores.
2. Descomponiendo los números en factores primos.
Recuerda que dos números \(a\) y \(b\) son primos relativos si \(mcd (a, b)=1\)
Ejemplos
1. \(mcd (18,24)\)
\(18\) y \(24\) son divisibles entre \(1,2,3\) y \(6\).
¿Hay algún número mayor que \(6\) que divida a \(18\) у a \(24\)? No. Entonces:
\[mcd (18,24)=6\]
2. \(mcd (60, 100, 120)\)
\(60,100\) y \(120\) son divisibles entre \(1,2,4,5,10\) y \(20\).
¿Hay algún número mayor que \(20\) que divida a \(60, 100\) у a \(120\)? No. Entonces:
\[mcd (60, 100, 120)=20\]
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1.2. Método 1. Conjuntos de divisores
1.2. Método 1. Conjuntos de divisores
Para hallar el máximo común divisor, con los conjuntos de divisores, se realizan los siguientes pasos:
1. Se hallan todos los divisores de cada número.
2. Se buscan los divisores comunes de los conjuntos de divisores.
3. Se busca el mayor de los divisores comunes. Este es el máximo común divisor.
Ejemplos
1. Hallar \(mcd (18,24)\)
Se hallan todos los divisores de cada número.
\[D_{18}=\{1,2,3,6,9,18\}\]
\[D_{24}=\{1,2,3,4,6,8,12,24\}\]
Se buscan los divisores comunes de los conjuntos de divisores.
\[D_{18,24}=\{1,2,3,6\}\]
Se busca el mayor de los divisores comunes. En este caso corresponde al \(6\). Por lo tanto:
\[mcd (18,24)=6\]
2. Hallar \(mcd (60, 100, 120)\)
Se hallan todos los divisores de cada número.
\[D_{60}=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\}\]
\[D_{100}=\{1,2,4,5,10,20,25,50,100\}\]
\[D_{120}=\{1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120\}\]
Se buscan los divisores comunes de los conjuntos de divisores.
\[D_{60,100,120}=\{1,2,4,5,10,20\}\]
Se busca el mayor de los divisores comunes. En este caso corresponde al \(20\). Por lo tanto:
\[mcd (60, 100, 120)=20\]
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Ejercicios
Resuelva usando el conjunto de divisores de cada número:
1. \(mcd(15,30)\)
2. \(mcd(8,12)\)
3. \(mcd(9,18)\)
4. \(mcd(16,20)\)
5. \(mcd(18,24)\)
6. \(mcd(21,28)\)
7. \(mcd(24,32)\)
8. \(mcd(3,6,9)\)
9. \(mcd(7,14,21)\)
10. \(mcd(18,27,36)\)
11. \(mcd(24,36,72)\)
12. \(mcd(30,42,54)\)
13. \(mcd(16,24,40)\)
14. \(mcd(22,33,44)\)
15. \(mcd(20,28,36,40)\)
16. \(mcd(15,20,30,60)\)
17. \(mcd(28,42,56,70)\)
18. \(mcd(32,48,64,80)\)
1. Máximo Común Divisor
1.3. Método 2: Descomponiendo en factores primos
1.3. Método 2: Descomponiendo en factores primos
Para hallar el máximo común divisor, con los conjuntos de divisores, se realizan los siguientes pasos:
1. Se descompone cada número en factores primos.
(Números primos Ver más.) | (Descomposición factorial Ver más.)
2. Se escogen los factores comunes, elevados al menor exponente.
3. Se realiza la multiplicación de esos factores comunes. El producto es el máximo común divisor de los números.
Ejemplos
1. Hallar \(mcd (18,24)\)
Se descompone cada número en factores primos.
\[\begin{array}{r|l} 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array} \] \[ 18 = 2 \cdot 3^{2}\]
\[\begin{array}{r|l} 24 & 2 \\ 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array} \] \[ 24 = 2^{3} \cdot 3\]
Se escogen los factores comunes, elevados al menor exponente, esto es \(2\) y \(3\).
Se realiza la multiplicación de esos factores comunes. Por lo tanto:
\[mcd (18,24)=2 \cdot 3=6\]
2. Hallar \(mcd (60, 100, 120)\)
Se descompone cada número en factores primos.
\begin{array}{r|l} 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array} \[ 60 = 2^{2} \cdot 3 \cdot 5\]
\begin{array}{r|l} 100 & 2 \\ 50 & 2 \\ 25 & 5 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array} \[ 100 = 2^{2} \cdot 5^{2}\]
\[\begin{array}{r|l} 120 & 2 \\ 60 & 2 \\ 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array}\] \[ 120 = 2^{3} \cdot 3 \cdot 5\]
Se escogen los factores comunes, elevados al menor exponente, esto es \(2^{2}\) y \(5\).
Se realiza la multiplicación de esos factores comunes. Por lo tanto:
\[mcd (60, 100, 120)=2^{2} \cdot 5=4\cdot 5=20\]
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Ejercicios
Resuelva descomponiendo cada número en sus factores primos:
1. \(mcd(20,80)\)
2. \(mcd(144,520)\)
3. \(mcd(345,850)\)
4. \(mcd(40,200)\)
5. \(mcd(48,72)\)
6. \(mcd(60,210)\)
7. \(mcd(33,77,121)\)
8. \(mcd(425,800,950)\)
9. \(mcd(464,812,870)\)
10. \(mcd(171,324,513)\)
11. \(mcd(56,84,140)\)
12. \(mcd(120,300,360)\)
13. \(mcd(204,510,459)\)
14. \(mcd(54,76,114,234)\)
15. \(mcd(320,450,560,600)\)
16. \(mcd(400,500,350,250)\)
1. Máximo Común Divisor
1.4. Problemas de aplicación
1.4. Problemas de aplicación
El MCD se utiliza cuando el problema implica dividir cantidades en partes iguales lo más grandes posible, sin que sobre nada. Algunas claves para reconocerlo:
Quieres hacer grupos iguales sin que sobre nada.
Buscas el mayor número posible.
El problema trata de dividir, no de juntar.
Se puede expresar como ¿Cuál es el mayor número que divide a...?
Ejemplos
1. Daniel quiere dividir una cartulina de 40 cm de largo y 30 cm de ancho en cuadrados con la mayor área posible, sin que sobre cartulina. ¿Cuánto debe medir el lado de cada cuadrado?
Para encontrar la medida del lado de cada cuadrado se halla el \(mcd(30,40)\):
\[\begin{array}{r|l} 30 & 2 \\ 15 & 3 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array} \] \[ 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5\]
\[\begin{array}{r|l} 40 & 2 \\ 20 & 2 \\ 10 & 2 \\ 5 & 5 \\ 1 & \end{array} \] \[ 40 = 2^{3} \cdot 5\]
\[mcd (30,40)=2 \cdot 5=10\]
Por tanto, el lado de cada cuadrado debe medir 10 cm. De esta forma se puede dividir la cartulina en cuadrados con la mayor área posible sin que sobre cartulina.
2. Una profesora imparte dos cursos: uno con 48 alumnos y otro con 36 alumnos. Quiere distribuir a los alumnos en grupos iguales en cada curso y además, que los grupos sean lo más numerosos posibles.
a. ¿Cuántos alumnos tendrá cada grupo en ambos cursos?
Para encontrar la cantidad de alumnos que tendrá cada grupo se debe hallar \(mcd (36,48)\)
\begin{array}{r|l} 36 & 2 \\ 18 & 2 \\ 9 & 3 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array} \[ 36 = 2^{2} \cdot 3^{2}\]
\begin{array}{r|l} 48 & 2 \\ 24 & 2 \\ 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array} \[ 48 = 2^{4} \cdot 3\]
\[mcd (36,48)=2^{2} \cdot 3=4\cdot 3=12\]
Cada grupo tendrá 12 alumnos.
b. ¿Cuántos grupos tendrá en cada uno de los cursos?
En el curso de 36 alumnos tendrá 3 grupos, porque \(36 \div 12=3\). Por su parte, en el curso de 48 alumnos tendrá 4 grupos, porque \(48 \div 12=4\).
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Ejercicios
1. Dos cintas de \(36\,m\) y \(48\,m\) de longitud se quieren dividir en pedazos iguales y de la mayor longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada pedazo?
2. ¿Cuál será la mayor longitud de una medida con la que se puedan medir exactamente tres dimensiones de \(140\,m, 560\,m\) y \(800\,m\) metros?
3. Se tienen tres cajas que contienen \(1600\,lb, 2000\,lb\) y \(3392\,lb\) de jabón respectivamente. El jabón de cada caja está dividido en bloques de la misma masa y la mayor posible. ¿Cuál es la masa de cada bloque y cuántos bloques hay en cada caja?
4. Se quieren envasar \(161\,kg, 253 \, kg\) y \(207\,kg\) de plomo en tres cajas, de modo que los bloques de plomo de cada caja tengan la misma masa y la mayor posible. ¿Cuál es la masa de cada pedazo de plomo y cuántos caben en cada caja?
5. Una persona camlna un número exacto de pasos andando \(650\,cm, 800\,cm\) y \(1000\,cm\). ¿Cuál es la mayor longitud posible de cada paso?
6. ¿Cuál es la mayor longitud de una regla con la que se puede medir exactamente el largo y el ancho de una sala que tiene \(850\,cm\) de largo y \(595\,cm\) de ancho?
7. Jazmín tiene una cuerda de \(120\,cm\) de largo y otra de \(180\,cm\) de largo. Quiere cortar ambas cuerdas en segmentos de la misma longitud sin desperdiciar nada. ¿Cuál es la longitud máxima que puede elegir para los segmentos de cuerda?
