Álgebra | Operaciones con expresiones algebraicas
¡Bienvenido a la sección Operaciones con expresiones algebraicas!
Aquí encontrarás recursos, explicaciones y herramientas diseñadas para ayudarte a comprender y dominar el proceso de operar expresiones algebraicas. Ya sea que estés comenzando a explorar este tema o buscando reforzar tus conocimientos, esta sección te guiará paso a paso con ejemplos claros y ejercicios prácticos.
¡Prepárate para descubrir cómo las operaciones con expresiones algebraicas puede simplificar y fortalecer tu comprensión del álgebra!
1. Unidad 1
1.1. Subtema
1.1. Subtema
Ejemplos
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Ejercicios
1. Unidad 1
1.2. Subtema
1.2. Subtema
Ejemplos
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1. Unidad 1
1.3. Subtema
2.3. Subtema
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2. Unidad 2
2.1. Subtema
2.1. Subtema
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2. Unidad 2
2.2. Subtema
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2. Unidad 2
2.3. Subtema
2.3. Subtema
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Ejercicios
3. Multiplicación
3.1. Multiplicación de monomios
3.1. Multiplicación de monomios
Para multiplicar dos o más monomios:
Se multiplican los coeficientes (el signo del producto vendrá dado por la ley de los signos). A continuación de este producto se escriben las letras de los factores en orden alfabético, poniéndole a cada letra un exponente igual a la suma de los exponentes que tenga en los factores.
Recordemos la ley de signos
\[+ \cdot +=+\]
\[+ \cdot -=-\]
\[- \cdot +=-\]
\[- \cdot -=+\]
Ejemplos
1. Resuelve la multiplicación \(\left(2a^{2}\right)\left(3a^{3}\right)\)
Al multiplicar los coeficientes tenemos: \((2)(3)=6\)
Al multiplicar la parte literal se aplica la propiedad de la potenciación que establece que en productos de bases iguales se suman los exponentes: \(\left(a^{2}\right)\left(a^{3}\right)=a^{2+3}=a^{5}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(2a^{2}\right)\left(3a^{3}\right)=6a^{5}\]
2. Resuelve la multiplicación \(\left(-xy^{2}\right)\left(-5mx^{4}y^{3}\right)\)
Se multiplican los coeficientes: \((-1)(-5)=5\)
Se multiplican las partes literales: \((xy^{2})(mx^{4}y^{3})=mx^{1+4}y^{2+3}=mx^{5}y^{5}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(-xy^{2}\right)\left(-5mx^{4}y^{3}\right)=5mx^{5}y^{5} \]
3. Resuelve la multiplicación \(\left(3a^{2}b\right)\left(-4b^{2}x\right)\)
Se multiplican los coeficientes: \((3)(-4)=-12\)
Se multiplican las partes literales: \(\left(a^{2}b\right)\left(b^{2}x\right)=a^{2}b^{1+2}x=a^{2}b^{3}x\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(3a^{2}b\right)\left(-4b^{2}x\right)=-12a^{2}b^{3}x \]
4. Resuelve la multiplicación \(\left(-ab^{2}\right)\left(4a^{m}b^{n}c^{3}\right)\)
Se multiplican los coeficientes: \((-1)(4)=-4\)
Se multiplican las partes literales: \(\left(ab^{2}\right)\left(a^{m}b^{n}c^{3}\right)=a^{m+1}b^{n+2}c^{3}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(-ab^{2}\right)\left(4a^{m}b^{n}c^{3}\right)=-4a^{m+1}b^{n+2}c^{3}\]
5. Resuelve la multiplicación \(\left(a^{x+1}b^{x+2}\right)\left(-3a^{x+2}b^{3}\right)\)
Se multiplican los coeficientes: \((1)(-3)=-3\)
Se multiplican las partes literales: \(\left(a^{x+1}b^{x+2}\right)\left(a^{x+2}b^{3}\right)=a^{x+1+x+2}b^{x+2+3}=a^{2x+3}b^{x+5}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(a^{x+1}b^{x+2}\right)\left(-3a^{x+2}b^{3}\right)=-3a^{2x+3}b^{x+5}\]
6. Resuelve la multiplicación \(\left(-a^{m+1}b^{n-2}\right)\left(-4a^{m-2}b^{2n+4}\right)\)
Se multiplican los coeficientes: \((-1)(-4)=4\)
Se multiplican las partes literales: \(\left(a^{m+1}b^{n-2}\right)\left(a^{m-2}b^{2n+4}\right)=a^{m+1+m-2}b^{n-2+2n+4}=a^{2m-1}b^{3n+2}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(-a^{m+1}b^{n-2}\right)\left(-4a^{m-2}b^{2n+4}\right)=4a^{2m-1}b^{3n+2}\]
7. Resuelve la multiplicación \(\left(\frac{2}{3}a^{2}b\right)\left(-\frac{3}{4}a^{3}m\right)\)
Se multiplican los coeficientes: \(\left(\frac{2}{3}\right)\left(-\frac{3}{4}\right)=-\frac{6}{12}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}\)
Se multiplican las partes literales: \(\left(a^{2}b\right)\left(a^{3}m\right)=a^{2+3}bm=a^{5}bm\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(\frac{2}{3}a^{2}b\right)\left(-\frac{3}{4}a^{3}m\right)=-\frac{1}{2}a^{5}bm\]
8. Resuelve la multiplicación \(\left(-\frac{5}{6}x^{2}y^{3}\right)\left(-\frac{3}{10}x^{m}y^{n+1}\right)\)
Se multiplican los coeficientes: \(\left(-\frac{5}{6}\right)\left(-\frac{3}{10}\right)=\frac{15}{60}=\frac{5}{20}=\frac{1}{4}\)
Se multiplican las partes literales: \(\left(x^{2}y^{3}\right)\left(x^{m}y^{n+1}\right)=x^{m+2}y^{3+n+1}=x^{m+2}y^{n+4}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(-\frac{5}{6}x^{2}y^{3}\right)\left(-\frac{3}{10}x^{m}y^{n+1}\right)=\frac{1}{4}x^{m+2}y^{n+4}\]
9. Resuelve la multiplicación \(\left(2a\right)\left(-3a^{2}b\right)\left(-ab^{3}\right)\)
Se multiplican los coeficientes: \((2)(-3)(-1)=6\)
Se multiplican las partes literales: \(\left(a\right)\left(a^{2}b\right)\left(ab^{3}\right)=a^{1+2+1}b^{1+3}=a^{4}b^{4}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(2a\right)\left(-3a^{2}b\right)\left(-ab^{3}\right)=6a^{4}b^{4}\]
10. Resuelve la multiplicación \(\left(-x^{2}y\right)\left(-\frac{2}{3}x^{m}\right)\left(-\frac{3}{4}a^{2}y^{n}\right)\)
Se multiplican los coeficientes: \((-1)(-\frac{2}{3})(-\frac{3}{4})=-\frac{6}{12}=-\frac{3}{6}=-\frac{1}{2}\)
Se multiplican las partes literales: \(\left(x^{2}y\right)\left(x^{m}\right)\left(a^{2}y^{n}\right)=a^{2}x^{m+2}y^{n+1}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(-x^{2}y\right)\left(-\frac{2}{3}x^{m}\right)\left(-\frac{3}{4}a^{2}y^{n}\right)=-\frac{1}{2}a^{2}x^{m+2}y^{n+1}\]
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Ejercicios
Resuelve las siguientes multiplicaciones:
\[\left(ab\right)\left(-ab\right)\]
\[\left(2x^{2}\right)\left(-3x\right)\]
\[\left(-4a^{2}b\right)\left(-ab^{2}\right)\]
\[\left(-5x^{3}y\right)\left(xy^{2}\right)\]
\[\left(a^{2}b^{3}\right)\left(3a^{2}x\right)\]
\[\left(-4m^{2}\right)\left(-5mn^{2}p\right)\]
\[\left(5a^{2}y\right)\left(-6x^{2}\right)\]
\[\left(-x^{2}y^{3}\right)\left(-4y^{3}z^{4}\right)\]
\[\left(abc\right)\left(cd\right)\]
\[\left(-15x^{4}y^{3}\right)\left(-16a^{2}x^{3}\right)\]
\[\left(3a^{2}b^{3}\right)\left(-4x^{2}y\right)\]
\[\left(3a^{2}bx\right)\left(7b^{3}x^{5}\right)\]
\[\left(-8m^{2}n^{3}\right)\left(-9a^{2}mx^{4}\right)\]
\[\left(a^{m}b^{n}\right)\left(-ab\right)\]
\[\left(-5a^{m}b^{n}\right)\left(-6a^{2}b^{3}x\right)\]
\[\left(cx^{m}y^{n}\right)\left(-c^{x}x^{m}y^{n}\right)\]
\[\left(-m^{x}n^{a}\right)\left(-6m^{2}n\right)\]
\[\left(a^{m}\right)\left(a^{m+1}\right)\]
\[\left(-x^{a}\right)\left(-x^{a+2}\right)\]
\[\left(4a^{n}b^{x}\right)\left(-ab^{x+1}\right)\]
\[\left(-a^{n+1}b^{n+2}\right)\left(a^{n+2}b^{n}\right)\]
\[\left(-3a^{n+4}b^{n+1}\right)\left(-4a^{n+2}b^{n+3}\right)\]
\[\left(3x^{2}y^{3}\right)\left(4x^{m+1}y^{m+2}\right)\]
\[\left(4x^{a+2}b^{a+4}\right)\left(-5x^{a+5}b^{a+1}\right)\]
\[\left(a^{m}b^{n}c\right)\left(-a^{m}b^{2n}\right)\]
\[\left(-x^{m+1}y^{a+2}\right)\left(-4x^{m-3}y^{a-5}c^{2}\right)\]
\[\left(-5m^{a}n^{b-1}c\right)\left(-7m^{2a-3}n^{b-4}\right)\]
\[\left(\frac{1}{2}a^{2}\right)\left(\frac{4}{5}a^{3}b\right)\]
\[\left(-\frac{3}{7}m^{2}n\right)\left(-\frac{7}{14}a^{2}m^{3}\right)\]
\[\left(\frac{2}{3}x^{2}y^{3}\right)\left(-\frac{3}{5}a^{2}x^{4}y\right)\]
\[\left(-\frac{1}{8}m^{3}n^{4}\right)\left(-\frac{4}{5}a^{3}m^{2}n\right)\]
\[\left(-\frac{7}{8}abc\right)\left(\frac{2}{7}a^{3}\right)\]
\[\left(-\frac{3}{5}x^{3}y^{4}\right)\left(-\frac{5}{6}a^{2}by^{5}\right)\]
\[\left(\frac{1}{3}a\right)\left(\frac{3}{5}a^{m}\right)\]
\[\left(-\frac{3}{4}a^{m}\right)\left(-\frac{2}{5}ab^{3}\right)\]
\[\left(\frac{5}{6}a^{m}b^{n}\right)\left(-\frac{3}{10}ab^{2}c\right)\]
\[\left(-\frac{2}{9}a^{x}b^{m+1}\right)\left(-\frac{3}{5}a^{x-1}b^{m}\right)\]
\[\left(\frac{3}{8}a^{m}b^{n}\right)\left(-\frac{4}{5}a^{2m}b^{n}\right)\]
\[\left(-\frac{2}{11}a^{x+1}b^{x-3}c^{2}\right)\left(-\frac{44}{7}a^{x-3}b^{2}\right)\]
\[\left(a\right)\left(-3a\right)\left(a^{2}\right)\]
\[\left(3x^{2}\right)\left(-x^{3}y\right)\left(-a^{2}x\right)\]
\[\left(-m^{2}n\right)\left(-3m^{2}\right)\left(-5mn^{3}\right)\]
\[\left(4a^{2}\right)\left(-5a^{3}x^{2}\right)\left(-ay^{2}\right)\]
\[\left(-a^{m}\right)\left(-2ab\right)\left(-3a^{2}b^{x}\right)\]
\[\left(\frac{1}{2}x^{3}\right)\left(-\frac{2}{3}a^{2}x\right)\left(-\frac{3}{5}a^{4}m\right)\]
\[\left(\frac{2}{3}a^{m}\right)\left(\frac{3}{4}a^{2}b^{4}\right)\left(-3a^{4}b^{x+1}\right)\]
\[\left(-\frac{3}{5}m^{3}\right)\left(-5a^{2}m\right)\left(-\frac{1}{10}a^{x}m^{a}\right)\]
\[\left(2a\right)\left(-a^{2}\right)\left(-3a^{3}\right)\left(4a\right)\]
\[\left(-3b^{2}\right)\left(-4a^{3}b\right)\left(ab\right)\left(-5a^{2}x\right)\]
\[\left(a^{m}b^{x}\right)\left(-a^{2}\right)\left(-2ab\right)\left(-3a^{2}x\right)\]
\[\left(-\frac{1}{2}x^{2}y\right)\left(-\frac{3}{5}xy^{2}\right)\left(-\frac{10}{3}x^{3}\right)\left(-\frac{3}{4}x^{2}y\right)\]
3. Multiplicación
3.2. Multiplicación de un monomio por un polinomio
3.2. Multiplicación de un monomio por un polinomio
Para multiplicar un monomio por un polinomio, multiplica el monomio por cada uno de los términos del polinomio, teniendo en cuenta en cada caso la regla de los signos, y se separan los productos parciales con sus propios signos.
Esta es la ley distributiva de la multiplicación.
Ejemplos
1. Resuelve la multiplicación \(\left(4ax^{2}\right)\left(3x^{2}-6x+7\right)\)
Se multiplica el monomio por el primer término del polinomio: \(\left(4ax^{2}\right)\left(3x^{2}\right)=12ax^{4}\)
Se multiplica el monomio por el segundo término del polinomio: \(\left(4ax^{2}\right)\left(-6x\right)=-24ax^{3}\)
Se multiplica el monomio por el tercer término del polinomio: \(\left(4ax^{2}\right)\left(7\right)=28ax^{2}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(4ax^{2}\right)\left(3x^{2}-6x+7\right)=12ax^{4}-24ax^{3}+28ax^{2}\]
2. Resuelve la multiplicación \(\left(-2a^{2}x\right)\left(a^{3}x-4a^{2}x^{2}+5ax^{3}-x^{4}\right)\)
Se multiplica el monomio por el primer término del polinomio: \(\left(-2a^{2}x\right)\left(a^{3}x\right)=-2a^{5}x^{2}\)
Se multiplica el monomio por el segundo término del polinomio: \(\left(-2a^{2}x\right)\left(-4a^{2}x^{2}\right)=8a^{4}x^{3}\)
Se multiplica el monomio por el tercer término del polinomio: \(\left(-2a^{2}x\right)\left(5ax^{3}\right)=-10a^{3}x^{4}\)
Se multiplica el monomio por el cuarto término del polinomio: \(\left(-2a^{2}x\right)\left(-x^{4}\right)=2a^{2}x^{5}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\left(-2a^{2}x\right)\left(a^{3}x-4a^{2}x^{2}+5ax^{3}-x^{4}\right)=-2a^{5}x^{2}+8a^{4}x^{3}-10a^{3}x^{4}+2a^{2}x^{5}\]
3. Resuelve la multiplicación \(\left(-3x^{2}y^{m}\right)\left(x^{a+1}y-3x^{a}y^{2}+2x^{a-1}y^{3}-x^{a-2}y^{4}\right)\)
Se multiplica el monomio por el primer término del polinomio: \(\left(-3x^{2}y^{m}\right)\left(x^{a+1}y\right)=-3x^{a+3}y^{m+1}\)
Se multiplica el monomio por el segundo término del polinomio: \(\left(-3x^{2}y^{m}\right)\left(-3x^{a}y^{2}\right)=9x^{a+2}y^{m+2}\)
Se multiplica el monomio por el tercer término del polinomio: \(\left(-3x^{2}y^{m}\right)\left(2x^{a-1}y^{3}\right)=-6x^{a+1}y^{m+3}\)
Se multiplica el monomio por el cuarto término del polinomio: \(\left(-3x^{2}y^{m}\right)\left(-x^{a-2}y^{4}\right)=3x^{a}y^{m+4}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\begin{aligned} &\left(-3x^{2}y^{m}\right)\left(x^{a+1}y-3x^{a}y^{2}+2x^{a-1}y^{3}-x^{a-2}y^{4}\right) \\ &=-3x^{a+3}y^{m+1}+9x^{a+2}y^{m+2}-6x^{a+1}y^{m+3}+3x^{a}y^{m+4} \end{aligned}\]
4. Resuelve la multiplicación \(\left(-\frac{2}{9}a^{2}x^{3}y^{2}\right)\left(\frac{2}{3}x^{4}y^{2}-\frac{3}{5}x^{2}y^{4}+\frac{5}{6}y^{6}\right)\)
Se multiplica el monomio por el primer término del polinomio: \(\left(-\frac{2}{9}a^{2}x^{3}y^{2}\right)\left(\frac{2}{3}x^{4}y^{2}\right)=-\frac{4}{27}a^{2}x^{7}y^{4}\)
Se multiplica el monomio por el segundo término del polinomio: \(\left(-\frac{2}{9}a^{2}x^{3}y^{2}\right)\left(-\frac{3}{5}x^{2}y^{4}\right)=\frac{\color{var(--algebra)}\cancel{6}}{\color{var(--algebra)}\cancel{45}}a^{2}x^{5}y^{6}=\frac{2}{15}a^{2}x^{5}y^{6}\)
Se multiplica el monomio por el tercer término del polinomio: \(\left(-\frac{2}{9}a^{2}x^{3}y^{2}\right)\left(\frac{5}{6}y^{6}\right)=-\frac{\color{var(--algebra)}\cancel{10}}{\color{var(--algebra)}\cancel{54}}a^{2}x^{3}y^{8}=-\frac{5}{27}a^{2}x^{3}y^{8}\)
Por lo tanto, se tiene que:
\[\begin{aligned} &\left(-\frac{2}{9}a^{2}x^{3}y^{2}\right)\left(\frac{2}{3}x^{4}y^{2}-\frac{3}{5}x^{2}y^{4}+\frac{5}{6}y^{6}\right) \\ &=-\frac{4}{27}a^{2}x^{7}y^{4}+\frac{2}{15}a^{2}x^{5}y^{6}-\frac{5}{27}a^{2}x^{3}y^{8} \end{aligned}\]
