Álgebra | Factorización
¡Bienvenido a la sección de factorización!
Aquí encontrarás recursos, explicaciones y herramientas diseñadas para ayudarte a comprender y dominar el proceso de descomponer expresiones algebraicas en sus factores. Ya sea que estés comenzando a explorar este tema o buscando reforzar tus conocimientos, esta sección te guiará paso a paso con ejemplos claros y ejercicios prácticos.
¡Prepárate para descubrir cómo la factorización puede simplificar y fortalecer tu comprensión del álgebra!
1. Factor Común
1.1. Factor Común Monomio
1.1. Factor Común Monomio
La factorización más simple se basa en la propiedad distributiva. \[ab+ac=a(b+c)\]
Este tipo de factorización, remueve el factor común de los términos.
Pasos para encontrar el factor común monomio:
1. Hallar el Máximo Común Divisor de los coeficientes: buscar el mayor número que divide a todos los coeficientes de los términos del polinomio. Ver más.
2. Identificar las variables comunes: buscar las variables que se repiten en todos los términos del polinomio y, para cada variable, toma la que tenga el menor exponente.
3. Para factorizar el polinomio, dividimos cada término del polinomio entre el factor común monomio.
Ejemplos
1. Factorizar \(a^{2}+2a\)
\(a^{2}\) y \(2a\) tienen el factor común \(a\).
Escribimos el factor común \(a\) como coeficiente de un paréntesis; luego, dentro del paréntesis escribimos los coeficientes de dividir \(a^{2}/a=a\) y \(2a/a=2\) y tendremos:
\[a^{2}+2a=a(a+2)\]
2. Factorizar \(10b-30ab^{2}\)
Los coeficientes \(10\) y \(30\) tienen los factores comunes (divisores) \(2\), \(5\), y \(10\).
Tomamos \(10\) porque siempre se toma el mayor factor común.
De las letras, el único factor común es \(b\) porque está en los dos términos de la expresión dada y la tomamos con su menor exponente.
Por lo tanto, el factor común es \(10b\)
\(a^{2}\) y \(2a\) tienen el factor común \(a\).
Escribimos el factor común \(10b\) como coeficiente de un paréntesis; luego, dentro del paréntesis escribimos los coeficientes de dividir \(10b/10b =1\) y \(-30ab^{2}/10b=-3ab\) y tendremos:
\[10b-30 a b^{2} = 10b(1-3ab)\]
3. Factorizar \(10a^{2}-5a+15a^{3}\)
El factor común es \(5a\).
Tendremos:
\[10a^{2}-5a+15a^{3}=5a(2a-1+3a^{2})\]
4. Factorizar \(18mxy^{2}-54m^{2}x^{2}y^{2}+36my^{2}\)
El factor común es \(18my^{2}\).
Tendremos:
\[18mxy^{2}-54m^{2}x^{2}y^{2}+36my^{2} = 18my^{2}(x-3mx^{2}+2)\]
5. Factorizar \(6xy^{3}-9nx^{2}y^{3}+12nx^{3}y^{3}-3n^{2}x^{4}y^{3}\)
El factor común es \(3xy^{3}\).
Tendremos:
\[6xy^{3}-9nx^{2}y^{3}+12nx^{3}y^{3}-3n^{2}x^{4}y^{3} = 3xy^{3}(2-3nx+4nx^{2}-n^{2}x^{3})\]
Ejercicios
Factorice los siguientes polinomios:
1. \(a^{2}+ab\)
2. \(b+b^{2}\)
3. \(x^{2}+x\)
4. \(3a^{3}-a^{2}\)
5. \(x^{3}-4x^{4}\)
6. \(5m^{2}+15m^{3}\)
7. \(ab-bc\)
8. \(x^{2}y+x^{2}z\)
9. \(2a^{2}x+6ax^{2}\)
10. \(8m^{2}-12mn\)
11. \(9a^{3}x^{2}-18ax^{3}\)
12. \(15c^{3}d^{2}+60c^{2}d^{3}\)
13. \(35m^{2}n^{3}-70m^{3}\)
14. \(abc+abc^{2}\)
15. \(24a^{2}xy^{2}-36x^{2}y^{4}\)
16. \(a^{3}+a^{2}+a\)
17. \(4x^{2}-8x+2\)
18. \(15y^{3}+20y^{2}-5y\)
19. \(a^{3}-a^{2}x+ax^{2}\)
20. \(2a^{2}x+2ax^{2}-3ax\)
21. \(x^{3}+x^{5}-x^{7}\)
22. \(14x^{2}y^{2}-28x^{3}+56x^{4}\)
23. \(34ax^{2}+51a^{2}y-68ay^{2}\)
24. \(96-48mn^{2}+144n^{3}\)
25. \(a^{2}b^{2}c^{2}-a^{2}c^{2}x^{2}+a^{2}c^{2}y^{2}\)
26. \(55m^{2}n^{3}x+110m^{2}n^{3}x^{2}-220m^{2}y^{3}\)
27. \(93a^{3}x^{2}y-62a^{2}x^{3}y^{2}-124a^{2}x\)
28. \(x-x^{2}+x^{3}-x^{4}\)
29. \(a^{6}-3a^{4}+8a^{3}-4a^{2}\)
30. \(25x^{7}-10x^{5}+15x^{3}-5x^{2}\)
31. \(x^{15}-x^{12}+2x^{9}-3x^{6}\)
32. \(9a^{2}-12ab+15a^{3}b^{2}-24ab^{3}\)
33. \(16x^{3}y^{2}-8x^{2}y-24x^{4}y^{2}-40x^{2}y^{3}\)
34. \(12m^{2}n+24m^{3}n^{2}-36m^{4}n^{3}+48m^{5}n^{4}\)
35. \(100a^{2}b^{3}c-150ab^{2}c^{2}+50ab^{3}c^{3}-200abc^{2}\)
36. \(x^{5}-x^{4}+x^{3}-x^{2}+x\)
37. \(a^{2}-2a^{3}+3a^{4}-4a^{5}+6a^{6}\)
38. \(3a^{2}b+6ab-5a^{3}b^{2}+8a^{2}bx+4ab^{2}m\)
39. \(a^{20}-a^{16}+a^{12}-a^{8}+a^{4}-a^{2}\)
1. Factor Común
1.2. Factor Común Polinomio
Ejemplos
1. Factorizar \(x(a+b)+m(a+b)\)
Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el binomio \((a+b)\).
Escribimos el factor común \((a+b)\) dentro un paréntesis; luego, dentro de otro paréntesis escribimos los coeficientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común \(a+b\), es decir:
\[\frac{x(a+b)}{(a+b)} =x \text{ ; } \frac{m(a+b)}{(a+b)} =m\]
Por lo que tendremos
\[x(a+b)+m(a+b)=(a+b)(x+m)\]
2. Factorizar \(2x(a-1)-y(a-1)\)
Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el binomio \((a-1)\).
Escribimos el factor común \((a-1)\) dentro un paréntesis; luego, dentro de otro paréntesis escribimos los coeficientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común \(a-1\), es decir:
\[\frac{2x(a-1)}{(a-1)} =2x \text{ ; } \frac{-y(a-1)}{(a-1)} =-y\]
Por lo que tendremos
\[2x(a-1)-y(a-1)=(a-1)(2x-y)\]
3. Factorizar \(m(x+2)+x+2\)
Esta expresión podemos escribirla de la forma \( m(x+2)+(x+2) \).
Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el binomio \((x+2)\).
Escribimos el factor común \((x+2)\) dentro un paréntesis; luego, dentro de otro paréntesis escribimos los coeficientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común \(x+2\), es decir:
\[\frac{m(x+2)}{(x+2)} =m \text{ ; } \frac{(x+2)}{(x+2)} =1\]
Por lo que tendremos
\[m(x+2)+x+2=(x+2)(m+1)\]
4. Factorizar \(a(x+1)-x-1\)
Introduciendo los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo \(-\), se tiene: \( a(x+1)-(x+1) \).
Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el binomio \((x+1)\).
Escribimos el factor común \((x+1)\) dentro un paréntesis; luego, dentro de otro paréntesis escribimos los coeficientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común \(x+1\), es decir:
\[\frac{a(x+1)}{(x+1)} =a \text{ ; } \frac{-(x+1)}{(x+1)}=-1\]
Por lo que tendremos
\[a(x+1)-x-1=a(x+1)-(x+1)=(x+1)(a-1)\]
5. Factorizar \(2x(x+y+z)-x-y-z\)
Introduciendo los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo \(-\), se tiene: \(2x(x+y+z)-(x+y+z)\).
Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el binomio \((x+y+z)\).
Escribimos el factor común \((x+y+z)\) dentro un paréntesis; luego, dentro de otro paréntesis escribimos los coeficientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común \(x+y+z\), es decir:
\[\frac{2x(x+y+z)}{(x+y+z)} =2x \text{ ; } \frac{-(x+y+z)}{(x+y+z)}=-1\]
Por lo que tendremos
\[2x(x+y+z)-x-y-z=2x(x+y+z)-(x+y+z)=(x+y+z)(2x-1)\]
6. Factorizar \((x-a)(y+2)+b(y+2)\)
Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el binomio \((y+2)\).
Escribimos el factor común \((y+2)\) dentro un paréntesis; luego, dentro de otro paréntesis escribimos los coeficientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común \(y+2\), es decir:
\[\frac{(x-a)(y+2)}{(y+2)} =x-a \text{ ; } \frac{b(y+2)}{(y+2)} =b\]
Por lo que tendremos
\[(x-a)(y+2)+b(y+2)=(y+2)(x-a+b)\]
7. Factorizar \((x+2)(x-1)-(x-1)(x-3)\)
Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el binomio \((x-1)\).
Escribimos el factor común \((x-1)\) dentro un paréntesis; luego, dentro de otro paréntesis escribimos los coeficientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común \(x-1\), es decir:
\[\frac{(x+2)(x-1)}{(x-1)} =(x+2) \text{ ; } \frac{-(x-1)(x-3)}{(x-1)}=-(x-3)\]
Por lo que tendremos
\[(x+2)(x-1)-(x-1)(x-3)=(x-1)[(x+2)-(x-3)]\]
\[=(x-1)[x+2-x+3]\]
\[=(x-1)(5)\]
\[=5(x-1)\]
\[(x+2)(x-1)-(x-1)(x-3)=5(x-1)\]
8. Factorizar \(x(a-1)+y(a-1)-a+1\)
Introduciendo los dos últimos términos en un paréntesis precedido del signo \(-\), se tiene: \(x(a-1)+y(a-1)-(a-1)\).
Los dos términos de esta expresión tienen de factor común el binomio \((a-1)\).
Escribimos el factor común \((a-1)\) dentro un paréntesis; luego, dentro de otro paréntesis escribimos los coeficientes de dividir los dos términos de la expresión dada entre el factor común \(a-1\), es decir:
\[\frac{x(a-1)}{(a-1)}=x \text{ ; } \frac{y(a-1)}{(a-1)}=y \text{ ; } \frac{-(a-1)}{(a-1)}=-1\]
Por lo que tendremos
\[x(a-1)+y(a-1)-a+1= (a-1)(x+y-1)\]
Ejercicios
Factorice los siguientes polinomios:
1. \(a(x+1)+b(x+1)\)
2. \(x(a+1)-3(a+1)\)
3. \(2(x-1)+y(x-1)\)
4. \(m(a-b)+(a-b)n\)
5. \(2x(n-1)-3y(n-1)\)
6. \(a(n+2)+n+2\)
7. \(x(a+1)-a-1\)
8. \(a^{2}+1-b(a^{2}+1)\)
9. \(3x(x-2)-2y(x-2)\)
10. \(1-x+2a(1-x)\)
11. \(4x(m-n)+n-m\)
12. \(-m-n+x(m+n)\)
13. \(a^{3}(a-b+1)-b^{2}(a-b+1)\)
14. \(4m(a^{2}+x-1)+3n(a^{2}+x-1)\)
15. \(x(2a+b+c)-2a-b-c\)
16. \((x+y)(n+1)-3(n+1)\)
17. \((x+1)(x-2)+3y(x-2)\)
18. \((a+3)(a+1)-4(a+1)\)
19. \((x^{2}+2)(m-n)+2(m-n)\)
20. \(a(x-1)-(a+2)(x-1)\)
21. \(5x(a^{2}+1)+(x+1)(a^{2}+1)\)
22. \((a+b)(a-b)-(a-b)(a-b)\)
23. \((m+n)(a-2)+(m-n)(a-2)\)
24. \((x+m)(x+1)-(x+1)(x-n)\)
25. \((x-3)(x-4)+(x-3)(x+4)\)
26. \((a+b-1)(a^{2}+1)-a^{2}-1\)
27. \((a+b-c)(x-3)-(b-c-a)(x-3)\)
28. \(3x(x-1)-2y(x-1)+z(x-1)\)
29. \(a(n+1)-b(n+1)-n-1\)
30. \(x(a+2)-a-2+3(a+2)\)
31. \((1+3a)(x+1)-2a(x+1)+3(x+1)\)
32. \((3x+2)(x+y-z)-(3x+2)-(x+y-1)(3x+2)\)
1. Factor Común
1.3. Factor Común por Agrupación
1.3. Factor Común por Agrupación
Pasos para factorizar por agrupación:
1. Agrupar los términos: se agrupan los términos en pares o grupos que tengan un factor común.
2. Factorizar cada grupo: se extrae el factor común monomio de cada grupo.
3. Se extrae el factor común polinomio en la nueva expresión.
Ejemplos
1. Factorizar \(ax+bx+ay+by\)
Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro paréntesis precedido del signo \(+\). Así, tendremos:
\[ax+bx+ay+by = (ax+bx)+(ay+by)\]
Extraemos el factor común monomio en cada grupo:
\[= x(a+b)+y(a+b)\]
Extraemos el factor común polinomio
\[= (a+b)(x+y)\]
Por lo que tendremos
\[ax+bx+ay+by=(a+b)(x+y)\]
Otra forma de solucionar:
La agrupación puede hacerse generalmente de más de un modo con tal que los dos términos que se agrupan tengan algún factor común y siempre que las cantidades que quedan dentro de los paréntesis después de sacar el factor común en cada grupo, sean exactamente iguales.
Agrupamos el primer y tercer término en un paréntesis y el segundo y cuarto término en otro paréntesis precedido del signo \(+\). Así, tendremos:
\[ax+bx+ay+by = (ax+ay)+(bx+by)\]
\[= a(x+y)+b(x+y)\]
\[= (x+y)(a+b)\]
Por lo que tendremos
\[ax+bx+ay+by=(a+b)(x+y)\]
2. Factorizar \(3m^{2}-6mn+4m-8n\)
Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro paréntesis precedido del signo \(+\). Así, tendremos:
\[3m^{2}-6mn+4m-8n = (3m^{2}-6mn)+(4m-8n)\]
\[= 3m(m-2n)+4(m-2n)\]
\[= (m-2n)(3m+4)\]
Por lo que tendremos
\[3m^{2}-6mn+4m-8n=(m-2n)(3m+4)\]
3. Factorizar \(2x^{2}-3xy-4x+6y\)
Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro paréntesis precedido del signo \(+\). Así, tendremos:
\[2x^{2}-3xy-4x+6y = (2x^{2}-3xy)+(-4x+6y)\]
\[= (2x^{2}-3xy)-(4x-6y)\]
\[= x(2x-3y)-2(2x-3y)\]
\[= (2x-3y)(x-2)\]
Por lo que tendremos
\[2x^{2}-3xy-4x+6y=(2x-3y)(x-2)\]
4. Factorizar \(x+z^{2}-2ax-2az^{2}\)
Agrupamos los dos primeros términos en un paréntesis y los dos últimos en otro paréntesis precedido del signo \(+\). Así, tendremos:
\[x+z^{2}-2ax-2az^{2} = (x+z^{2})+(-2ax-2az^{2})\]
\[= (x+z^{2})-(2ax+2az^{2})\]
\[= (x+z^{2})-2a(x+z^{2})\]
\[= (x+z^{2})(1-2a)\]
Por lo que tendremos
\[x+z^{2}-2ax-2az^{2}=(x+z^{2})(1-2a)\]
5. Factorizar \(3ax-3x+4y-4ay\)
Agrupamos:
\[3ax-3x+4y-4ay = (3ax-3x)+(4y-4ay)\]
\[= 3x(a-1)+4y(1-a)\]
Los binomios \((a-1)\) y \((1-a)\) tienen los signos distintos; para hacerlos iguales extraemos un factor \(-1\) en uno de ellos, así:
\[= 3x(a-1)-4y(a-1)\]
\[= (a-1)(3x-4y)\]
Por lo que tendremos
\[3ax-3x+4y-4ay=(a-1)(3x-4y)\]
6. Factorizar \(ax-ay+az+x-y+z\)
Agrupamos:
\[ax-ay+az+x-y+z = (ax-ay+az)+(x-y+z)\]
\[= a(x-y+z)+(x-y+z)\]
\[= (x-y+z)(a+1)\]
Por lo que tendremos
\[ax-ay+az+x-y+z=(x-y+z)(a+1)\]
6. Factorizar \(ax-ay+az+x-y+z\)
Agrupamos:
\[a^{2}x-ax^{2}-2a^{2}y+2axy+x^{3}-2x^{2}y = (a^{2}x-2a^{2}y)+(-ax^{2}+2axy)+(x^{3}-2x^{2}y)\]
\[= a^{2}(x-2y)+ax(-x+2y)+x^{2}(x-2y)\]
\[= a^{2}(x-2y)-ax(x-2y)+x^{2}(x-2y)\]
\[= (x-2y)(a^{2}-ax+x^{2})\]
Por lo que tendremos
\[a^{2}x-ax^{2}-2a^{2}y+2axy+x^{3}-2x^{2}y=(x-2y)(a^{2}-ax+x^{2})\]
Ejercicios
Factorice los siguientes polinomios:
1. \(a^{2}+ab+ax+bx\)
2. \(am-bm+an-bn\)
3. \(ax-2bx-2ay+4by\)
4. \(a^{2}x^{2}-3bx^{2}+a^{2}y^{2}-3by^{2}\)
5. \(3m-2n-2nx^{4}+3mx^{4}\)
6. \(x^{2}-a^{2}+x-a^{2}x\)
7. \(4a^{3}-1-a^{2}+4a\)
8. \(x+x^{2}-xy^{2}-y^{2}\)
9. \(3abx^{2}-2y^{2}-2x^{2}+3aby^{2}\)
10. \(3a-b^{2}+2b^{2}x-6ax\)
11. \(4a^{3}x-4a^{2}b+3bm-3amx\)
12. \(6ax+3a+1+2x\)
13. \(3x^{3}-9ax^{2}-x+3a\)
14. \(2a^{2}x-5a^{2}y+15by-6bx\)
15. \(2x^{2}y+2xz^{2}+y^{2}z^{2}+xy^{3}\)
16. \(6m-9n+21nx-14mx\)
17. \(n^{2}x-5a^{2}y^{2}-n^{2}y^{2}+5a^{2}x\)
18. \(1+a+3ab+3b\)
19. \(4am^{3}-12amn-m^{2}+3n\)
20. \(20ax-5bx-2by+8ay\)
21. \(3-x^{2}+2abx^{2}-6ab\)
22. \(a^{3}+a^{2}+a+1\)
23. \(3a^{2}-7b^{2}x+3ax-7ab^{2}\)
24. \(2am-2an+2a-m+n-1\)
25. \(3ax-2by-2bx-6a+3ay+4b\)
26. \(a^{3}+a+a^{2}+1+x^{2}+a^{2}x^{2}\)
27. \(3a^{3}-3a^{2}b+9ab^{2}-a^{2}+ab-3b^{2}\)
28. \(2x^{3}-nx^{2}+2xz^{2}-nz^{2}-3ny^{2}+6xy^{2}\)
29. \(3x^{3}+2axy+2ay^{2}-3xy^{2}-2ax^{2}-3x^{2}y\)
30. \(a^{2}b^{3}-n^{4}+a^{2}b^{3}x^{2}-n^{4}x^{2}-3a^{2}b^{3}x+3n^{4}x\)
2. Diferencia de Cuadrados
2.1. Diferencia de Cuadrados
2.1. Diferencia de Cuadrados
La direfencia de dos cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de sus raíces, es decir:
\[a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)\]
Pasos para obtener la diferencia de cuadrados:
1. Se extraen la raíces cuadradas del minuendo y el sustraendo.
2. En un factor se coloca la suma de estas raíces.
3. En otro factor se coloca la diferencia de estas raíces.
Ejemplos
1. Factorizar \(1-a^{2}\)
Se extraen las raíces cuadradas de cada término:
\[\sqrt{1}=1 \text{ ; } \sqrt{a^{2}}=a\]
Por lo que tendremos
\[1-a^{2}=(1+a)(1-a)\]
2. Factorizar \(16x^{2}-25y^{4}\)
Se extraen las raíces cuadradas de cada término:
\[\sqrt{16x^{2}}=4x \text{ ; } \sqrt{25y^{4}}=5y^{2}\]
Por lo que tendremos
\[16x^{2}-25y^{4}=(4x+5y^{2})(4x-5y^{2})\]
3. Factorizar \(49x^{2}y^{6}z^{10}-a^{12}\)
Se extraen las raíces cuadradas de cada término:
\[\sqrt{49x^{2}y^{6}z^{10}}=7xy^{3}z^{5} \text{ ; } \sqrt{a^{12}}=a^{6}\]
Por lo que tendremos
\[49x^{2}y^{6}z^{10}-a^{12}=(7xy^{3}z^{5}+a^{6})(7xy^{3}z^{5}-a^{6})\]
4. Factorizar \(\frac{a^{2}}{4}-\frac{b^{4}}{9}\)
Se extraen las raíces cuadradas de cada término:
\[\sqrt{\frac{a^{2}}{4}}= \frac{a}{2} \text{ ; } \sqrt{\frac{b^{4}}{9}}=\frac{b^{2}}{3}\]
Por lo que tendremos
\[\frac{a^{2}}{4}-\frac{b^{4}}{9}=\left(\frac{a}{2}+\frac{b^{2}}{3} \right) \left(\frac{a}{2}-\frac{b^{2}}{3} \right)\]
5. Factorizar \(a^{2n}-9b^{4m}\)
Se extraen las raíces cuadradas de cada término:
\[\sqrt{a^{2n}}=a^{n} \text{ ; } \sqrt{9b^{4m}}=3b^{2m}\]
Por lo que tendremos
\[a^{2n}-9b^{4m}=(a^{n}+3b^{2m})(a^{n}-3b^{2m})\]
Ejercicios
Factorice los siguientes polinomios:
\[x^{2}-y^{2}\]
\[a^{2}-1\]
\[a^{2}-4\]
\[9-b^{2}\]
\[1-4m^{2}\]
\[16-n^{2}\]
\[a^{2}-25\]
\[1-y^{2}\]
\[4a^{2}-9\]
\[25-36x^{4}\]
\[1-49a^{2}b^{2}\]
\[4x^{2}-81y^{4}\]
\[a^{2}b^{8}-c^{2}\]
\[100-x^{2}y^{6}\]
\[a^{10}-49b^{12}\]
\[25x^{2}y^{4}-121\]
\[100m^{2}n^{4}-169y^{6}\]
\[a^{2}m^{4}n^{6}-144\]
\[196x^{2}y^{4}-225z^{12}\]
\[256a^{12}-289b^{4}m^{10}\]
\[1-9a^{2}b^{4}c^{6}d^{8}\]
\[361x^{14}-1\]
\[\frac{1}{4}-9a^{2}\]
\[1-\frac{a^{2}}{25}\]
\[\frac{1}{16}-\frac{4x^{2}}{49}\]
\[\frac{a^{2}}{36}-\frac{x^{6}}{25}\]
\[\frac{x^{2}}{100}-\frac{y^{2}z^{4}}{81}\]
\[\frac{x^{6}}{49}-\frac{4a^{10}}{121}\]
\[100m^{2}n^{4}-\frac{x^{8}}{16}\]
\[a^{2n}-b^{2n}\]
\[4x^{2n}-\frac{1}{9}\]
\[a^{4n}-225b^{4}\]
\[16x^{6m}-\frac{y^{2n}}{49}\]
\[49a^{10n}-\frac{b^{12x}}{81}\]
\[a^{2n}b^{4n}-\frac{1}{25}\]
\[\frac{1}{100}-x^{2n}\]
2. Diferencia de Cuadrados
2.2. Caso especial
2.2. Caso especial
La regla empleada en el caso anterior es aplicable a las diferencias de cuadrados en que uno o ambos cuadrados son expresiones compuestas.
\[\left(a+b \right)^{2}-c^{2} \text{ ; } 4x^{2}-\left(x+y \right)^{2} \text{ ; } \left(a+x \right)^{2}-\left(x+2 \right)^{2}\]
Para factorizar se aplican los mismos pasos del caso anterior, pero al final se deben resolver los paréntesis internos y, en caso de que los haya, reducir los términos semejantes.
Ejemplos
1. Factorizar \(\left(a+b \right)^{2}-c^{2}\)
Se extraen las raíces cuadradas de cada término:
\[\sqrt{\left(a+b \right)^{2}}=(a+b) \text{ ; } \sqrt{c^{2}}=c\]
Por lo que tendremos
\[\left(a+b \right)^{2}-c^{2}= \left[(a+b)+c \right] \left[(a+b)-c \right]\]
\[= \left(a+b+c \right) \left(a+b-c \right)\]
2. Factorizar \(4x^{2}-\left(x+y \right)^{2}\)
Se extraen las raíces cuadradas de cada término:
\[\sqrt{4x^{2}}=2x \text{ ; } \sqrt{\left(x+y \right)^{2}}=(x+y)\]
Por lo que tendremos
\[4x^{2}-\left(x+y \right)^{2}= \left[2x+(x+y) \right] \left[2x-(x+y) \right]\]
\[= \left(2x+x+y \right) \left(2x-x-y \right)\]
\[= \left(3x+y \right) \left(x-y \right)\]
3. Factorizar \(\left(a+x \right)^{2}-\left(x+2 \right)^{2}\)
Se extraen las raíces cuadradas de cada término:
\[\sqrt{\left(a+x \right)^{2}}=(a+x) \text{ ; } \sqrt{\left(x+2 \right)^{2}}=(x+2)\]
Por lo que tendremos
\[\left(a+x \right)^{2}-\left(x+2 \right)^{2}= \left[(a+x)+(x+2) \right] \left[(a+x)-(x+2) \right]\]
\[= \left(a+x+x+2 \right) \left(a+x-x-2 \right)\]
\[= \left(a+2x+2 \right) \left(a-2 \right)\]
Ejercicios
Factorice los siguientes polinomios:
\[\left(x+y \right)^{2}-a^{2}\]
\[4- \left(a+1 \right)^{2}\]
\[9- \left(m+n \right)^{2}\]
\[\left(m-n \right)^{2}-16\]
\[\left(x-y \right)^{2}-4z^{2}\]
\[\left(a+2b \right)^{2}-1\]
\[1- \left(x-2y \right)^{2}\]
\[\left(x+2a \right)^{2}-4x^{2}\]
\[\left(a+b \right)^{2}-\left(c+d \right)^{2}\]
\[\left(a-b \right)^{2}-\left(c-d \right)^{2}\]
\[\left(x+1 \right)^{2}-16x^{2}\]
\[64m^{2}-\left(m-2n \right)^{2}\]
\[\left(a-2b \right)^{2}-\left(x+y \right)^{2}\]
\[\left(2a-c \right)^{2}-\left(a+c \right)^{2}\]
\[\left(x+1 \right)^{2}-4x^{2}\]
\[36x^{2}-\left(a+3x \right)^{2}\]
\[a^{6}-\left(a-1 \right)^{2}\]
\[\left(a-1 \right)^{2}-\left(m-2 \right)^{2}\]
\[\left(2x-3 \right)^{2}-\left(x-5 \right)^{2}\]
\[1-\left(5a+2x \right)^{2}\]
\[\left(7x+y \right)^{2}-81\]
\[m^{6}-\left(m^{2}-1 \right)^{2}\]
\[16a^{10}-\left(2a^{2}+3 \right)^{2}\]
\[\left(x-y \right)^{2}-\left(c+d \right)^{2}\]
\[\left(2a+b-c \right)^{2}-\left(a+b \right)^{2}\]
\[100-\left(x-y+z \right)^{2}\]
\[x^{2}-\left(y-x \right)^{2}\]
\[\left(2x+3 \right)^{2}-\left(5x-1 \right)^{2}\]
\[\left(x-y+z \right)^{2}-\left(y-z+2x \right)^{2}\]
\[\left(2x+1 \right)^{2}-\left(x+4 \right)^{2}\]
\[\left(a+2x+1 \right)^{2}-\left(x+a-1 \right)^{2}\]
\[4\left(x+a \right)^{2}-49y^{2}\]
\[25\left(x-y \right)^{2}-4\left(x+y \right)^{2}\]
\[36\left(m+n \right)^{2}-121\left(m-n \right)^{2}\]
3. Trinomio Cuadrado Perfecto
3.1. Trinomio Cuadrado Perfecto
Cuadrado perfecto
Una cantidad es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de otra cantidad, es decir, cuando es el producto de dos factores iguales.
Así, \(4a^{2}\) es cuadrado perfecto, porque es el cuadrado de \(2a\). En efecto,
\[(2a)^{2}=2a \cdot 2a = 4a^{2}\]
Por lo tanto, \(2a\) es la raíz cuadrada de \(4a^{2}\).
Raíz cuadrada de un monomio
Para extraer la raíz de un monomio se extrae la raíz cuadrada de su coeficiente y se divide el exponente de cada letra por \(2\).
Así, la raíz cuadrada de \(9a^{2}b^{4}\) es \(3ab^{2}\) y la raíz cuadrada de \(36x^{6}y^{8}\) es \(6x^{3}y^{4}\)
Trinomio Cuadrado Perfecto
Un trinomio es cuadrado perfecto cuando es el cuadrado de un binomio, es decir, el producto de dos binomios iguales
Así, \(a^{2}+2ab+b^{2}\) es un trinomio cuadrado perfecto, porque es el cuadrado de \(a+b\). En efecto,
\[ (a+b)^{2}=(a+b)(a+b)=a^{2}+2ab+b^{2}\]
Igualmente, \(4x^{2}+12xy+9y^{2}\) es un trinomio cuadrado perfecto, porque es el cuadrado de \(2x+3y\). En efecto,
\[ (2x+3y)^{2}=(2x+3y)(2x+3y)=4x^{2}+12xy+9y^{2}\]
Regla para conocer si un trinomio es cuadrado perfecto
Un trinomio ordenado en relación con una letra es cuadrado perfecto cuando el primer y tercer término son positivos y son cuadrados perfectos (tiene raíz cuadrada exacta) y el segundo término es el doble producto de sus raíces cuadradas.
Ejemplo:
Así, \(a^{2}-4ab+4b^{2}\) es un trinomio cuadrado perfecto, porque:
1. Raíz cuadrada de \(a^{2}\) es \(a\).
2. Raíz cuadrada de \(4b^{2}\) es \(2b\).
3. Doble producto de estas raíces \(2 \cdot a \cdot 2b =4ab\) que es el segundo término.
\(36x^{2}-18xy^{4}+4y^{8}\) no es un trinomio cuadrado perfecto, porque:
1. Raíz cuadrada de \(36x^{2}\) es \(6x\).
2. Raíz cuadrada de \(4y^{8}\) es \(2y^{4}\).
3. Doble producto de estas raíces \(2 \cdot 6x \cdot 2y^{4} =24xy^{4}\) que no es el segundo término.
Regla para factorizar un trinomio cuadrado perfecto
Se extrae la raíz cuadrada el primer y el tercer término del trinomio y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio formado (que es la raíz cuadrada del trinomio) se multiplica por sí mismo o se eleva al cuadrado.
Ejemplos
1. Factorizar \(m^{2}+2m+1\)
Se extraen las raíces cuadradas del primero y del último término:
\[\sqrt{m^{2}}=m \text{ ; } \sqrt{1}=1\]
Doble producto de estas raíces \(2 \cdot m \cdot 1 =2m\) que es el segundo término.
Por lo tanto:
\[m^{2}+2m+1=(m+1)^{2}\]
2. Factorizar \(4x^{2}+25y^{2}-20xy\)
Ordenando el trinomio tenemos \( 4x^{2}-20xy+25y^{2} \)
Se extraen las raíces cuadradas del primero y del último término:
\[\sqrt{4x^{2}}=2x \text{ ; } \sqrt{25y^{2}}=5y\]
Doble producto de estas raíces \(2 \cdot 2x \cdot 5y =20xy\) que es el segundo término.
Cualquiera de las dos raices puede ponerse de minuendo. Por lo tanto:
\[4x^{2}-20xy+25y^{2}=(2x-5y)^{2}=(5y-2x)^{2}\]
3. Factorizar \(1-16ax^{2}+64a^{2}x^{4}\)
Se extraen las raíces cuadradas del primero y del último término:
\[\sqrt{1}=1 \text{ ; } \sqrt{64a^{2}x^{4}}=8ax^{2}\]
Doble producto de estas raíces \(2 \cdot 1 \cdot 8ax^{2} =16ax^{2}\) que es el segundo término.
Por lo tanto:
\[1-16ax^{2}+64a^{2}x^{4}= \left(1-8ax^{2} \right)^{2}\]
4. Factorizar \(x^{2}+bx+\frac{b^{2}}{4}\)
Se extraen las raíces cuadradas del primero y del último término:
\[\sqrt{x^{2}}=x \text{ ; } \sqrt{\frac{b^{2}}{4}}=\frac{b}{2}\]
Doble producto de estas raíces \(2 \cdot x \cdot \frac{b}{2} =bx\) que es el segundo término.
Por lo tanto:
\[x^{2}+bx+\frac{b^{2}}{4}= \left(x+\frac{b}{2} \right)^{2}\]
5. Factorizar \(\frac{1}{4}-\frac{b}{3}+\frac{b^{2}}{9}\)
Se extraen las raíces cuadradas del primero y del último término:
\[\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2} \text{ ; } \sqrt{\frac{b^{2}}{9}}=\frac{b}{3}\]
Doble producto de estas raíces \(2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{3} =\frac{b}{3}\) que es el segundo término.
Por lo tanto:
\[\frac{1}{4}-\frac{b}{3}+\frac{b^{2}}{9}= \left(\frac{1}{2}-\frac{b}{3} \right)^{2}\]
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Ejercicios
Factorice los siguientes polinomios:
\[a^{2}-2ab+b^{2}\]
\[a^{2}+2ab+b^{2}\]
\[x^{2}-2x+1\]
\[y^{4}+1+2y^{2}\]
\[a^{2}-10a+25\]
\[9-6x+x^{2}\]
\[16+40x^{2}+25x^{4}\]
\[1+49a^{2}-14a\]
\[36+12m^{2}+m^{4}\]
\[1-2a^{3}+a^{6}\]
\[a^{8}+18a^{4}+81\]
\[a^{6}-2a^{3}b^{3}+b^{6}\]
\[4x^{2}-12xy+9y^{2}\]
\[9b^{2}-30a^{2}b+25a^{4}\]
\[1+14x^{2}y+49x^{4}y^{2}\]
\[1+a^{10}-2a^{5}\]
\[49m^{6}-70am^{3}n^{2}+25a^{2}n^{4}\]
\[100x^{10}-60a^{4}x^{5}y^{6}+9a^{8}y^{12}\]
\[121+198x^{6}+81x^{12}\]
\[a^{2}-24am^{2}x^{2}+144m^{4}x^{4}\]
\[16-104x^{2}+169x^{4}\]
\[400x^{10}+40x^{5}+1\]
\[\frac{a^{2}}{4}-ab+b^{2}\]
\[1+ \frac{2b}{3} +\frac{b^{2}}{9}\]
\[a^{4}-a^{2}b^{2}+ \frac{b^{4}}{4}\]
\[\frac{1}{25}+ \frac{25x^{4}}{36}- \frac{x^{2}}{3}\]
\[16x^{6}-2x^{3}y^{2}+\frac{y^{4}}{16}\]
\[\frac{n^{2}}{9}+2mn+9m^{2}\]
3. Trinomio Cuadrado Perfecto
3.2. Caso especial
3.2. Caso especial
La regla anterior puede aplicarse a casos en el que el primer o tercer término del trinomio (o ambos) son expresiones compuestas.
\[a^{2}+2a\left(a-b \right) +\left(a-b \right)^{2}\]
\[\left(x+y \right)^{2} -2(x+y)(a+x) +\left(a+x \right)^{2}\]
Para factorizar se aplican los mismos pasos del caso anterior, pero al final se deben resolver los paréntesis internos y, en caso de que los haya, reducir los términos semejantes.
Ejemplos
1. Factorizar \(a^{2}+2a\left(a-b \right) +\left(a-b \right)^{2}\)
Se extraen las raíces cuadradas del primero y del último término:
\[\sqrt{a^{2}}=a \text{ ; } \sqrt{\left(a-b \right)^{2}}=(a-b)\]
Doble producto de estas raíces \(2 \cdot a \cdot (a-b) =2a(a-b)\) que es el segundo término.
Por lo tanto:
\[a^{2}+2a\left(a-b \right) +\left(a-b \right)^{2}= \left[a+(a-b) \right]^{2}\]
\[= \left(a+a-b \right)^{2}\]
\[= \left(2a-b \right)^{2}\]
2. Factorizar \(\left(x+y \right)^{2} -2(x+y)(a+x) +\left(a+x \right)^{2}\)
Se extraen las raíces cuadradas del primero y del último término:
\[\sqrt{\left(x+y \right)^{2}}=(x+y) \text{ ; } \sqrt{\left(a+x \right)^{2}}=(a+x)\]
Doble producto de estas raíces \(2 \cdot (x+y) \cdot (a+x) =2(x+y)(a+x)\) que es el segundo término.
Por lo tanto:
\[\left(x+y \right)^{2} -2(x+y)(a+x) +\left(a+x \right)^{2}= \left[(x+y)-(a+x) \right]^{2}\]
\[=\left(x+y-a-x \right)^{2}\]
\[= \left(y-a \right)^{2}\]
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Ejercicios
Factorice los siguientes polinomios:
\[a^{2}+2a(a+b)+(a+b)^{2}\]
\[4-4(1-a)+(1-a)^{2}\]
\[4m^{2}-4m(n-m)+(n-m)^{2}\]
\[(m-n)^{2}+6(m-n)+9\]
\[(a+x)^{2}-2(a+x)(x+y)+(x+y)^{2}\]
\[(m+n)^{2}-2(a-m)(m+n)+(a-m)^{2}\]
\[4(1+a)^{2}-4(1+a)(b-1)+(b-1)^{2}\]
\[9(x-y)^{2}+12(x-y)(x+y)+4(x+y)^{2}\]
3. Trinomio Cuadrado Perfecto
3.3. Combinación con Diferencia de Cuadrados
3.3. Combinación con Diferencia de Cuadrados
A continuación se presentan expresiones compuestas en las cuales mediante un arreglo conveniente de sus términos se obtiene uno o dos trinomios cuadrados perfectos y al descomponer estos trinomios se obtiene una diferencia de cuadrados.
Ejemplos
1. Factorizar \(a^{2}+2ab+b^{2}-1\)
Aquí tenemos que \(a^{2}+2ab+b^{2}\) es un trinomio cuadrado perfecto. Por lo cual:
\[a^{2}+2ab+b^{2}-1 = \left(a^{2}+2ab+b^{2}\right)-1\]
\[= \left(a+b\right)^{2}-1\]
A esta expresión es posible aplicarle una diferencia de cuadrados. Por lo tanto:
\[= \left[(a+b)+1\right]\left[(a+b)-1\right]\]
\[= (a+b+1)(a+b-1)\]
2. Factorizar \(a^{2}+m^{2}-4b^{2}-2am\)
Ordenando esta expresión, podemos escribirla: \(a^{2}-2am+m^{2}-4b^{2}\).
Donde se osberva que \(a^{2}-2am+m^{2}\) es un trinomio cuadrado perfecto. Por lo cual:
\[a^{2}+m^{2}-4b^{2}-2am = \left(a^{2}-2am+m^{2}\right)-4b^{2}\]
\[= \left(a-m\right)^{2}-4b^{2}\]
A esta expresión es posible aplicarle una diferencia de cuadrados. Por lo tanto:
\[= \left[(a-m)+2b\right]\left[(a-m)-2b\right]\]
\[= (a-m+2b)(a-m-2b)\]
3. Factorizar \(9a^{2}-x^{2}+2x-1\)
Introduciendo los últimos tres términos dentro de un paréntesis precedido por el signo \(-\) para que \(x^{2}\) y \(1\) se hagan positivos, tendremos:
\[9a^{2}-x^{2}+2x-1=9a^{2}-\left(x^{2}-2x+1\right)\]
\[=9a^{2}-\left(x-1\right)^{2}\]
A esta expresión es posible aplicarle una diferencia de cuadrados. Por lo tanto:
\[= \left[3a+(x-1)\right]\left[3a-(x-1)\right]\]
\[= (3a+x-1)(3a-x+1)\]
4. Factorizar \(4x^{2}-a^{2}+y^{2}-4xy+2ab-b^{2}\)
El término \(4xy\) sugiere que es el segundo término de un trinomio con primer y tercer término tienen \(x^{2}\) y \(y^{2}\). Por su parte, el término \(2ab\) sugiere que es el segundo término de un trinomio con primer y tercer término tienen \(a^{2}\) y \(b^{2}\).
\[4x^{2}-a^{2}+y^{2}-4xy+2ab-b^{2}=\left(4x^{2}-4xy+y^{2}\right)+\left(-a^{2}+2ab-b^{2}\right)\]
\[=\left(4x^{2}-4xy+y^{2}\right)-\left(a^{2}-2ab+b^{2}\right)\]
\[=\left(2x-y\right)^{2}-\left(a-b\right)^{2}\]
A esta expresión es posible aplicarle una diferencia de cuadrados. Por lo tanto:
\[= \left[(2x-y)+(a-b)\right]\left[(2x-y)-(a-b)\right]\]
\[= (2x-y+a-b)(2x-y-a+b)\]
5. Factorizar \(a^{2}-9n^{2}-6mn+10ab+25b^{2}-m^{2}\)
El término \(10ab\) sugiere que es el segundo término de un trinomio con primer y tercer término tienen \(a^{2}\) y \(b^{2}\). Por su parte, el término \(6mn\) sugiere que es el segundo término de un trinomio con primer y tercer término tienen \(m^{2}\) y \(n^{2}\).
\[a^{2}-9n^{2}-6mn+10ab+25b^{2}-m^{2}=\left(a^{2}+10ab+25b^{2}\right)+\left(-9n^{2}-6mn-m^{2}\right)\]
\[=\left(a^{2}+10ab+25b^{2}\right)-\left(9n^{2}+6mn+m^{2}\right)\]
\[=\left(a+5b\right)^{2}-\left(3n+m\right)^{2}\]
A esta expresión es posible aplicarle una diferencia de cuadrados. Por lo tanto:
\[= \left[(a+5b)+(3n+m)\right]\left[(a+5b)-(3n+m)\right]\]
\[= (a+5b+3n+m)(a+5b-3n-m)\]
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Ejercicios
Factorice los siguientes polinomios:
\[a^{2}+2ab+b^{2}-x^{2}\]
\[x^{2}-2xy+y^{2}-m^{2}\]
\[m^{2}+2mn+n^{2}-1\]
\[a^{2}-2a+1-b^{2}\]
\[n^{2}+6n+9-c^{2}\]
\[a^{2}+x^{2}+2ax-4\]
\[a^{2}+4-4a-9b^{2}\]
\[x^{2}+4y^{2}-4xy-1\]
\[a^{2}-6ay+9y^{2}-4x^{2}\]
\[4x^{2}+25y^{2}-36+20xy\]
\[9x^{2}-1+16a^{2}-24ax\]
\[1+64a^{2}b^{2}-x^{4}-16ab\]
\[a^{2}-b^{2}-2bc-c^{2}\]
\[1-a^{2}+2ax-x^{2}\]
\[m^{2}-x^{2}-2xy-y^{2}\]
\[c^{2}-a^{2}+2a-1\]
\[9-n^{2}-25-10n\]
\[4a^{2}-x^{2}+4x-4\]
\[1-a^{2}-9n^{2}-6an\]
\[25-x^{2}-16y^{2}+8xy\]
\[9x^{2}-a^{2}-4m^{2}+4am\]
\[16x^{2}y^{2}+12ab-4a^{2}-9b^{2}\]
\[-a^{2}+25m^{2}-1-2a\]
\[49x^{4}-25x^{2}-9y^{2}+30xy\]
\[a^{2}-2ab+b^{2}-c^{2}-2cd-d^{2}\]
\[x^{2}+2xy+y^{2}-m^{2}+2mn-n^{2}\]
\[a^{2}+4b^{2}+4ab-x^{2}-2ax-a^{2}\]
\[x^{2}+4a^{2}-4ax-y^{2}-9b^{2}+6by\]
\[m^{2}-x^{2}+9n^{2}+6mn-4ax-4a^{2}\]
\[9x^{2}+4y^{2}-a^{2}-12xy-25b^{2}-10ab\]
\[2am-x^{2}-9+a^{2}+m^{2}-6x\]
\[x^{2}-9a^{4}+6a^{2}b+1+2x-b^{2}\]
\[16a^{2}-1-10m+9x^{2}-24ax-25m^{2}\]
\[9m^{2}-a^{2}+2acd-c^{2}d^{2}+100-60m\]
\[4a^{2}-9x^{2}+49b^{2}-30xy-25y^{2}-28ab\]
\[225a^{2}-169b^{2}+1+30a+26bc-c^{2}\]
\[x^{2}-y^{2}+4+4x-1-2y\]
\[a^{2}-16-x^{2}+36+12a-8x\]
4. Trinomio Cuadrado Perfecto por adición y sustracción
4.1. Trinomio Cuadrado Perfecto por adición y sustracción
4.1. Trinomio Cuadrado Perfecto por adición y sustracción
Cuando el trinomio no es cuadrado perfecto porque el segundo término no es el doble producto de las raices del primer y tercer término. Por eso, para que un trinomio de estos se convierta en un trinomio cuadrado perfecto, se debe sumar y restar un mismo número (semejante al segundo término) para que el segundo término sea el doble producto de las raíces cuadradas del primer y último término. A este proceso se le denomina completar cuadrados.
Así, \(x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}\) no es cuadrado perfecto, porque aunque las raíces sean \(\sqrt{x^4}=x^{2}\) y \(\sqrt{y^4}=y^{2}\), el doble producto es \(2 \cdot x^{2} \cdot y^{2}=2x^{2}y^{2}\) que no coincide con el segundo término.
Sin embargo, es posible sumarle y restarle \(x^{2}y^{2}\) para generar un trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplos
1. Factorizar \(x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}\)
Las raíces son \(\sqrt{x^{4}}=x^{2}\) y \(\sqrt{y^{4}}=y^{2}\), el doble producto es \(2 \cdot x^{2} \cdot y^{2}=2x^{2}y^{2}\)
Por lo cual hay que sumarle y restarle \(x^{2}y^{2}\) para generar un trinomio cuadrado perfecto.
\[x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}=x^{4}+x^{2}y^{2} {\color{var(--algebra)} +x^{2}y^{2}}+y^{4}{\color{var(--algebra)}-x^{2}y^{2}}\]
\[=x^{4}+2x^{2}y^{2}+y^{4}-x^{2}y^{2}\]
\[=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}-x^{2}y^{2}\]
A esta expresión es posible aplicarle una diferencia de cuadrados. Por lo tanto:
\[= \left[(x^{2}+y^{2})+xy\right]\left[(x^{2}+y^{2})-xy\right]\]
\[= (x^{2}+y^{2}+xy)(x^{2}+y^{2}-xy)\]
Ordenando la expresión:
\[= (x^{2}+xy+y^{2})(x^{2}-xy+y^{2})\]
2. Factorizar \(4a^{4}+8a^{2}b^{2}+9b^{4}\)
Las raíces son \(\sqrt{4a^{4}}=2a^{2}\) y \(\sqrt{9b^{4}}=3b^{2}\), el doble producto es \(2 \cdot 2a^{2} \cdot 3b^{2}=12a^{2}b^{2}\)
Por lo cual hay que sumarle y restarle \(4a^{2}b^{2}\) para generar un trinomio cuadrado perfecto.
\[4a^{4}+8a^{2}b^{2}+9b^{4}=4a^{4}+8a^{2}b^{2} {\color{var(--algebra)} +4a^{2}b^{2}}+9b^{4} {\color{var(--algebra)}-4a^{2}b^{2}}\]
\[=4a^{4}+12a^{2}b^{2}+9b^{4}-4a^{2}b^{2}\]
\[=\left(2a^{2}+3b^{2}\right)^{2}-4a^{2}b^{2}\]
A esta expresión es posible aplicarle una diferencia de cuadrados. Por lo tanto:
\[= \left[(2a^{2}+3b^{2})+2ab\right]\left[(2a^{2}+3b^{2})-2ab\right]\]
\[= (2a^{2}+3b^{2}+2ab)(2a^{2}+3b^{2}-2ab)\]
Ordenando la expresión:
\[= (2a^{2}+2ab+3b^{2})(2a^{2}-2ab+3b^{2})\]
3. Factorizar \(a^{4}-16a^{2}b^{2}+36b^{4}\)
Las raíces son \(\sqrt{a^{4}}=a^{2}\) y \(\sqrt{36b^{4}}=6b^{2}\), el doble producto es \(2 \cdot a^{2} \cdot 6b^{2}=12a^{2}b^{2}\)
Por lo cual hay que sumarle y restarle \(4a^{2}b^{2}\) para generar un trinomio cuadrado perfecto.
\[a^{4}-16a^{2}b^{2}+36b^{4}=a^{4}-16a^{2}b^{2} {\color{var(--algebra)} +4a^{2}b^{2}}+36b^{4} {\color{var(--algebra)}-4a^{2}b^{2}}\]
\[=a^{4}-12a^{2}b^{2}+36b^{4}-4a^{2}b^{2}\]
\[=\left(a^{2}-6b^{2}\right)^{2}-4a^{2}b^{2}\]
A esta expresión es posible aplicarle una diferencia de cuadrados. Por lo tanto:
\[= \left[(a^{2}-6b^{2})+2ab\right]\left[(a^{2}-6b^{2})-2ab\right]\]
\[= (a^{2}-6b^{2}+2ab)(a^{2}-6b^{2}-2ab)\]
Ordenando la expresión:
\[= (a^{2}+2ab-6b^{2})(a^{2}-2ab-6b^{2})\]
4. Factorizar \(49m^{4}-151m^{2}n^{4}+81n^{8}\)
Las raíces son \(\sqrt{49m^{4}}=7m^{2}\) y \(\sqrt{81n^{8}}=9n^{4}\), el doble producto es \(2 \cdot 7m^{2} \cdot 9n^{4}=126m^{2}n^{4}\)
Por lo cual hay que sumarle y restarle \(25m^{2}n^{4}\) para generar un trinomio cuadrado perfecto.
\[49m^{4}-151m^{2}n^{4}+81n^{8}=49m^{4}-151m^{2}n^{4} {\color{var(--algebra)} +25m^{2}n^{4}} +81n^{8} {\color{var(--algebra)}-25m^{2}n^{4}}\]
\[=49m^{4}-126m^{2}n^{4}+81n^{8}-25m^{2}n^{4}\]
\[=\left(7m^{2}-9n^{4}\right)^{2}-25m^{2}n^{4}\]
A esta expresión es posible aplicarle una diferencia de cuadrados. Por lo tanto:
\[= \left[(7m^{2}-9n^{4})+5mn^{2}\right]\left[(7m^{2}-9n^{4})-5mn^{2}\right]\]
\[= (7m^{2}-9n^{4}+5mn^{2})(7m^{2}-9n^{4}-5mn^{2})\]
Ordenando la expresión:
\[= (7m^{2}+5mn^{2}-9n^{4})(7m^{2}-5mn^{2}-9n^{4})\]
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Ejercicios
Factorice los siguientes polinomios:
\[a^{4}+a^{2}+1\]
\[m^{4}+m^{2}n^{2}+n^{4}\]
\[x^{8}+3x^{4}+4\]
\[a^{4}+2a^{2}+9\]
\[a^{4}-3a^{2}b^{2}+b^{4}\]
\[x^{4}-6x^{2}+1\]
\[4a^{4}+3a^{2}b^{2}+9b^{4}\]
\[4x^{4}-29x^{2}+25\]
\[x^{8}+4x^{4}y^{4}+16y^{8}\]
\[16m^{4}-25m^{2}n^{2}+9n^{4}\]
\[25a^{4}+54a^{2}b^{2}+49b^{4}\]
\[36x^{4}-109x^{2}y^{2}+49y^{4}\]
\[81m^{8}+2m^{4}+1\]
\[c^{4}-45c^{2}+100\]
\[4a^{8}-53a^{4}b^{4}+49b^{8}\]
\[49+76n^{2}+64n^{4}\]
\[25x^{4}-139x^{2}y^{2}+81y^{4}\]
\[49x^{8}+76x^{4}y^{4}+100y^{8}\]
\[4-108x^{2}+121x^{4}\]
\[121x^{4}-133x^{2}y^{4}+36y^{8}\]
\[144+23n^{6}+9n^{12}\]
\[16-9c^{4}+c^{8}\]
\[64a^{4}-169a^{2}b^{4}+81b^{8}\]
\[225+5m^{2}+m^{4}\]
\[1-126a^{2}b^{4}+169a^{4}b^{8}\]
\[x^{4}y^{4}+21x^{2}y^{2}+121\]
\[49c^{8}+75c^{4}m^{2}n^{2}+196m^{4}n^{4}\]
\[81a^{4}b^{8}-292a^{2}b^{4}x^{8}+256x^{16}\]
4. Trinomio Cuadrado Perfecto por adición y sustracción
4.2. Caso especial: Suma de dos cuadrados
4.2. Caso especial: Suma de dos cuadrados
En general, una suma de dos cuadrados no tiene descomposición en factores racionales, es decir, factores en los que no haya raíz.
Sin embargo, existen sumas de cuadrados que, sumándoles y restándoles una misma cantidad, puede llevarse a un Trinomio Cuadrado Perfecto por adición y sustracción.
Ejemplos
1. Factorizar \(a^{4}+4b^{4}\)
Las raíces son \(\sqrt{a^{4}}=a^{2}\) y \(\sqrt{4b^{4}}=2b^{2}\).
Para que sea un trinomio cuadrado perfecto hace falta que el segundo término sea \(2 \cdot a^{2} \cdot 2b^{2}=4a^{2}b^{2}\)
Por lo cual hay que sumarle y restarle \(4a^{2}b^{2}\) para generar un trinomio cuadrado perfecto.
\[a^{4}+4b^{4}=a^{4} {\color{var(--algebra)} +4a^{2}b^{2}} +4b^{4} {\color{var(--algebra)}-4a^{2}b^{2}}\]
\[=\left(a^{2}+2b^{2}\right)^{2}-4a^{2}b^{2}\]
A esta expresión es posible aplicarle una diferencia de cuadrados. Por lo tanto:
\[= \left[(a^{2}+2b^{2})+2ab\right]\left[(a^{2}+2b^{2})-2ab\right]\]
\[= (a^{2}+2b^{2}+2ab)(a^{2}+2b^{2}-2ab)\]
Ordenando la expresión:
\[= (a^{2}+2ab+2b^{2})(a^{2}-2ab+2b^{2})\]
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Ejercicios
Factorice los siguientes polinomios:
\[x^{4}+64y^{4}\]
\[4x^{8}+y^{8}\]
\[a^{4}+324b^{4}\]
\[4m^{4}+81n^{4}\]
\[4+625x^{8}\]
\[64+a^{12}\]
\[1+4n^{4}\]
\[64x^{8}+y^{8}\]
\[81a^{4}+64b^{4}\]
5. Trinomio de la forma \(x^{2}+bx+c\)
5.1. Trinomio de la forma \(x^{2}+bx+c\)
5.1. Trinomio de la forma \(x^{2}+bx+c\)
Trinomios de la forma \(x^{2}+bx+c\) son trinomios como:
\[x^{2}+5x+6 \text{ ; } m^{2}+5m-14 \text{ ; } a^{2}-2a-15 \text{ ; } y^{2}-8y+15\]
que cumplen las siguientes condiciones:
1. El coeficiente del primer término es \(1\).
2. El primer término es una letra cualquiera elevada al cuadrado.
3. El segundo término tiene la misma letra que el primer término con exponente 1 y su coeficiente es una cantidad cualquiera (positiva o negativa).
4. El tercer término es independiente de la letra que aparece en el primer y segundo término y es una cantidad cualquiera (positiva o negativa).
Regla para factorizar un trinomio de la forma \(x^{2}+bx+c\)
1. El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es la raíz cuadrada del primer término del trinomio.
2. En el primer factor, se pone el signo del segundo término del trinomio y, en el segundo factor, se escribe el signo que resulta de multiplicar los signos del segundo y tercer término del trinomio.
3. Si los dos factores tienen en el medio signos iguales se buscan dos números que sumados den el coeficiente del segundo término del trinomio y que el producto sea el tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios.
4. Si los dos factores tienen en el medio signos distintos se buscan dos números que restados den el coeficiente del segundo término del trinomio y que el producto sea el tercer término del trinomio. Estos números son los segundos términos de los binomios, primero se pone el mayor número.
Ejemplos
1. Factorizar \(x^{2}+5x+6\)
El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es \(\sqrt{x^{2}}=x\)
\[x^{2}+5x+6= (x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,)(x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,)\]
En el primer binomio se pone \(+\) que es el signo del segundo término \(+5x\).
En el segundo binomio se pone \(+\) que es el signo de la multilplicación de los signos del segundo y tercer término \(+5x\) y \(+6\).
\[x^{2}+5x+6= (x +\,\,\,\,\,)(x +\,\,\,\,\,)\]
Ahora, como estos binomios tienen el mismo signo, buscamos dos números cuya suma sea \(5\) y cuyo producto sea \(6\). Estos números son \(3\) y \(2\).
\[x^{2}+5x+6=(x+3)(x+2)\]
2. Factorizar \(x^{2}-7x+12\)
El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es \(\sqrt{x^{2}}=x\)
\[x^{2}-7x+12= (x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,)(x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,)\]
En el primer binomio se pone \(-\) que es el signo del segundo término \(-7x\).
En el segundo binomio se pone \(-\) que es el signo de la multilplicación de los signos del segundo y tercer término \(-7x\) y \(+12\).
\[x^{2}-7x+12= (x -\,\,\,\,\,)(x -\,\,\,\,\,)\]
Ahora, como estos binomios tienen el mismo signo, buscamos dos números cuya suma sea \(7\) y cuyo producto sea \(12\). Estos números son \(4\) y \(3\).
\[x^{2}-7x+12=(x-4)(x-3)\]
3. Factorizar \(x^{2}+2x-15\)
El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es \(\sqrt{x^{2}}=x\)
\[x^{2}+2x-15= (x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,)(x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,)\]
En el primer binomio se pone \(+\) que es el signo del segundo término \(+2x\).
En el segundo binomio se pone \(-\) que es el signo de la multilplicación de los signos del segundo y tercer término \(+2x\) y \(-15\).
\[x^{2}+2x-15= (x +\,\,\,\,\,)(x -\,\,\,\,\,)\]
Ahora, como estos binomios tienen diferente signo, buscamos dos números cuya diferencia sea \(2\) y cuyo producto sea \(15\). Estos números son \(5\) y \(3\).
\[x^{2}+2x-15=(x+5)(x-3)\]
4. Factorizar \(x^{2}-5x-14\)
El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es \(\sqrt{x^{2}}=x\)
\[x^{2}-5x-14= (x \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,)(x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,)\]
En el primer binomio se pone \(-\) que es el signo del segundo término \(-5x\).
En el segundo binomio se pone \(+\) que es el signo de la multilplicación de los signos del segundo y tercer término \(-5x\) y \(-14\).
\[x^{2}-5x-14= (x -\,\,\,\,\,)(x +\,\,\,\,\,)\]
Ahora, como estos binomios tienen diferente signo, buscamos dos números cuya diferencia sea \(5\) y cuyo producto sea \(14\). Estos números son \(7\) y \(2\).
\[x^{2}-5x-14=(x-7)(x+2)\]
5. Factorizar \(a^{2}-13a+40\)
\[a^{2}-13a+40=(a-5)(a-8)\]
6. Factorizar \(m^{2}-11m-12\)
\[m^{2}-11m-12=(m-12)(m+1)\]
7. Factorizar \(n^{2}+28n-29\)
\[n^{2}+28n-29=(n+29)(n-1)\]
8. Factorizar \(x^{2}+6x-216\)
\[x^{2}+6x-216=(x+18)(x-12)\]
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Ejercicios
Factorice los siguientes polinomios:
\[x^{2}+7x+10\]
\[x^{2}-5x+6\]
\[x^{2}+3x-10\]
\[x^{2}+x-2\]
\[a^{2}+4a+3\]
\[m^{2}+5m-14\]
\[y^{2}-9y+20\]
\[x^{2}-6-x\]
\[x^{2}-9x+8\]
\[c^{2}+5c-24\]
\[x^{2}-3x+2\]
\[a^{2}+7a+6\]
\[y^{2}-4y+3\]
\[12-8n+n^{2}\]
\[x^{2}+10x+21\]
\[a^{2}+7a-18\]
\[m^{2}-12m+11\]
\[x^{2}-7x-30\]
\[n^{2}+6n-16\]
\[20+a^{2}-21a\]
\[y^{2}+y-30\]
\[28+a^{2}-11a\]
\[n^{2}-6n-40\]
\[x^{2}-5x-36\]
\[a^{2}-2a-35\]
\[x^{2}+14x+13\]
\[a^{2}+33-14a\]
\[m^{2}+13m-30\]
\[c^{2}-13c-14\]
\[x^{2}+15x+56\]
\[x^{2}-15x+54\]
\[a^{2}+7a-60\]
\[x^{2}-17x-60\]
\[x^{2}+8x-180\]
\[m^{2}-20m-300\]
\[x^{2}+x-132\]
\[m^{2}-2m-168\]
\[c^{2}+24c+135\]
\[m^{2}-41m+400\]
\[a^{2}+a-380\]
\[x^{2}+12x-364\]
\[a^{2}+42a+432\]
\[m^{2}-30m-675\]
\[y^{2}+50y+336\]
\[x^{2}-2x-528\]
\[n^{2}+43n+432\]
\[c^{2}-4c-320\]
\[m^{2}-8m-1008\]
5. Trinomio de la forma \(x^{2}+bx+c\)
5.2. Caso especial
5.2. Caso especial
El procedimiento anterior es aplicable a la factorización de trinomios que difieren en algo de los casos ya estudiados.
Ejemplos
1. Factorizar \(x^{4}-5x^{2}-50\)
El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es \(\sqrt{x^{4}}=x^{2}\)
\[x^{4}-5x^{2}-50= (x^{2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,)(x^{2} \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,)\]
En el primer binomio se pone \(-\) que es el signo del segundo término \(-5x^{2}\).
En el segundo binomio se pone \(+\) que es el signo de la multilplicación de los signos del segundo y tercer término \(-5x^{2}\) y \(-50\).
\[x^{4}-5x^{2}-50= (x^{2} -\,\,\,\,\,)(x^{2} +\,\,\,\,\,)\]
Ahora, como estos binomios tienen diferente signo, buscamos dos números cuya diferencia sea \(5\) y cuyo producto sea \(50\). Estos números son \(10\) y \(5\).
\[x^{4}-5x^{2}-50=(x^{2}-10)(x^{2}+5)\]
2. Factorizar \(x^{6}+7x^{3}-44\)
El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es \(\sqrt{x^{6}}=x^{3}\).
Aplicando las reglas, tendremos:
\[x^{6}+7x^{3}-44=(x^{3}+11)(x^{3}-4)\]
3. Factorizar \(a^{2}b^{2}-ab-42\)
El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es \(\sqrt{a^{2}b^{2}}=ab\)
Aplicando las reglas, tendremos:
\[a^{2}b^{2}-ab-42= (ab-\,\,\,\,\,)(ab+\,\,\,\,\,)\]
Ahora, como estos binomios tienen diferente signo, buscamos dos números cuya diferencia sea \(1\) (que es el coeficiente de \(ab\)) y cuyo producto sea \(42\). Estos números son \(7\) y \(6\).
\[a^{2}b^{2}-ab-42=(ab-7)(ab+6)\]
4. Factorizar \(\left(5x\right)^{2}-9(5x)+8\)
Atención sobre este ejemplo, porque es la base para la factorización de los trinomios de la forma \(ax^{2}+bx+c\).
El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es \(\sqrt{\left(5x\right)^{2}}=5x\)
Aplicando las reglas, tendremos:
\[\left(5x\right)^{2}-9(5x)+8= (5x-\,\,\,\,\,)(5x-\,\,\,\,\,)\]
Ahora, como estos binomios tienen el mismo signo, buscamos dos números cuya suma sea \(9\) y cuyo producto sea \(8\). Estos números son \(8\) y \(1\).
\[\left(5x\right)^{2}-9(5x)+8=(5x-8)(5x-1)\]
5. Factorizar \(x^{2}-5ax-36a^{2}\)
Aplicando las reglas, tendremos:
\[x^{2}-5ax-36a^{2}= (x-\,\,\,\,\,)(x+\,\,\,\,\,)\]
El coeficiente de \(x\) en el segundo término es \(5a\).
Ahora, como estos binomios tienen diferente signo, buscamos dos números cuya diferencia sea \(5a\) y cuyo producto sea \(36a^{2}\). Estos números son \(9a\) y \(4a\).
\[x^{2}-5ax-36a^{2}=(x-9a)(x+4a)\]
6. Factorizar \(\left(a+b\right)^{2}-12(a+b)+20\)
El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es \(\sqrt{\left(a+b\right)^{2}}=\left(a+b\right)\)
Aplicando las reglas, tendremos:
\[\left(a+b\right)^{2}-12(a+b)+20= \left[(a+b)-\,\,\,\,\,\right]\left[(a+b)-\,\,\,\,\,\right]\]
Ahora, como estos binomios tienen el mismo signo, buscamos dos números cuya suma sea \(12\) y cuyo producto sea \(20\). Estos números son \(10\) y \(2\).
\[\left(a+b\right)^{2}-12(a+b)-20=\left[(a+b)+10\right]\left[(a+b)-2\right]\]
\[=(a+b-10)(a+b-2)\]
7. Factorizar \(28+3x-x^{2}\)
Ordenando respecto a \(x\) tenemos:
\[-x^{2}+3x+28\]
Para eliminar el signo \(-\) de \(-x^{2}\) introducimos en un paréntesis precedido del signo \(-\) y cambiando los signos dentro del paréntesis:
\[-\left(x^{2}-3x-28\right)\]
Como la factorización de \(x^{2}-3x-28\) es \((x-7)(x+4)\), entonces:
\[28+3x-x^{2}=-\left(x^{2}-3x-28\right)=-(x-7)(x+4)\]
Para que desaparezca el signo \(-\) de la expresión \(-(x-7)(x+4)\), basta con cambiar el signo a un factor \(-(x-7)=(-x+7)=(7-x)\). Por lo tanto:
\[28+3x-x^{2}=(7-x)(x+4)\]
8. Factorizar \(30+y^{2}-y^{4}\)
\[30+y^{2}-y^{4}=-(y^{4}-y^{2}-30) \]
\[=-(y^{2}-6)(y^{2}+5) \]
\[30+y^{2}-y^{4}=(6-y^{2})(y^{2}+5)\]
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Ejercicios
Factorice los siguientes polinomios:
\[x^{4}+5x^{2}+4\]
\[x^{6}-6x^{3}-7\]
\[x^{8}-2x^{4}-80\]
\[x^{2}y^{2}+xy-12\]
\[(4x)^{2}-2(4x)-15\]
\[(5x)^{2}+13(5x)+42\]
\[x^{2}+2ax-15a^{2}\]
\[a^{2}-4ab-21b^{2}\]
\[\left(x-y\right)^{2}+2\left(x-y\right)-24\]
\[5+4x-x^{2}\]
\[x^{10}+x^{5}-20\]
\[m^{2}+mn-56n^{2}\]
\[x^{4}+7ax^{2}-60a^{2}\]
\[(2x)^{2}-4(2x)+3\]
\[\left(m-n\right)^{2}+5\left(m-n\right)-24\]
\[x^{8}+x^{4}-240\]
\[15+2y-y^{2}\]
\[a^{4}b^{4}-2a^{2}b^{2}-99\]
\[c^{2}+11cd+28d^{2}\]
\[25x^{2}-5(5x)-84\]
\[a^{2}-21ab+98b^{2}\]
\[x^{4}y^{4}+x^{2}y^{2}-132\]
\[48+2x^{2}-x^{4}\]
\[\left(c+d\right)^{2}-18\left(c+d\right)+65\]
\[a^{2}+2axy-440x^{2}y^{2}\]
\[m^{6}n^{6}-21m^{3}n^{3}+104\]
\[14+5n-n^{2}\]
\[x^{6}+x^{3}-930\]
\[\left(4x^{2}\right)^{2}-8\left(4x^{2}\right)-105\]
\[x^{4}+5abx^{2}-36a^{2}b^{2}\]
\[a^{4}-a^{2}b^{2}-156b^{4}\]
\[21a^{2}+4ax-x^{2}\]
\[x^{8}y^{8}-15ax^{4}y^{4}-100a^{2}\]
\[\left(a-1\right)^{2}+3\left(a-1\right)-108\]
\[m^{2}+abcm-56a^{2}b^{2}c^{2}\]
\[\left(7x^{2}\right)^{2}+24\left(7x^{2}\right)+128\]
6. Trinomio de la forma \(ax^{2}+bx+c\)
6.1. Trinomio de la forma \(ax^{2}+bx+c\)
6.1. Trinomio de la forma \(ax^{2}+bx+c\)
Trinomios de la forma \(ax^{2}+bx+c\) son trinomios como:
\[2x^{2}+11x+5 \text{ ; } 3a^{2}+7a-6 \text{ ; } 10n^{2}-n-2 \text{ ; } 7m^{2}-23m+6\]
que se diferencian de los trinomios estudiados en el caso anterior en que el primer término tiene un coeficiente distinto de \(1\).
Ejemplos
1. Factorizar \(6x^{2}-7x-3\)
Se multiplica cada término por el coeficiente de \(x^{2}\) que en este caso es \(6\), pero dejando indicado el producto en el segundo término. Para no alterar la expresión se debe dividir entre \(6\).
\[=\frac{36x^{2}-6(7x)-18}{6}\]
Se reescribe el término \(36x^{2}\) como \(\left(6x\right)^{2}\) y el término \(6(7x)\) como \(7(6x)\).
\[=\frac{\left(6x\right)^{2}-7(6x)-18}{6}\]
Se resuelve de manera similar al ejemplo 4 de la sección 5.2.
El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es \(\sqrt{\left(6x\right)^{2}}=6x\)
\[\frac{\left(6x\right)^{2}-7(6x)-18}{6}= \frac{(6x\,\,\,\,\,\,\,\,)(6x\,\,\,\,\,\,\,\,)}{6}\]
En el primer binomio se pone \(-\) que es el signo del segundo término \(-7(6x)\).
En el segundo binomio se pone \(+\) que es el signo de la multilplicación de los signos del segundo y tercer término \(-7(6x)\) y \(-18\).
\[=\frac{(6x-\,\,\,\,\,)(6x+\,\,\,\,\,)}{6}\]
Ahora, como estos binomios tienen diferente signo, buscamos dos números cuya diferencia sea \(7\) y cuyo producto sea \(18\). Estos números son \(9\) y \(2\).
\[=\frac{(6x-9)(6x+2)}{6}\]
Se saca factor común de cada binomio.
\[=\frac{3(2x-3) \cdot 2(3x+1)}{6}\]
Se simplifica
\[=\frac{{\color{var(--algebra)}\cancel{3}} (2x-3) \cdot {\color{var(--algebra)}\cancel{2}}(3x+1)}{{\color{var(--algebra)}\cancel{6}}}\]
\[6x^{2}-7x-3=(2x-3)(3x+1)\]
2. Factorizar \(20x^{2}+7x-6\)
Se multiplica cada término por el coeficiente de \(x^{2}\) que en este caso es \(20\), pero dejando indicado el producto en el segundo término. Para no alterar la expresión se debe dividir entre \(20\).
\[=\frac{400x^{2}+20(7x)-120}{20}\]
Se reescribe el término \(400x^{2}\) como \(\left(20x\right)^{2}\) y el término \(20(7x)\) como \(7(20x)\).
\[=\frac{\left(20x\right)^{2}+7(20x)-120}{20}\]
El trinomio se descompone en dos factores binomios cuyo primer término es \(\sqrt{\left(20x\right)^{2}}=20x\)
\[\frac{\left(20x\right)^{2}+7(20x)-120}{20}= \frac{(20x\,\,\,\,\,\,\,\,)(20x\,\,\,\,\,\,\,\,)}{20}\]
En el primer binomio se pone \(+\) que es el signo del segundo término \(+7(20x)\).
En el segundo binomio se pone \(-\) que es el signo de la multilplicación de los signos del segundo y tercer término \(+7(20x)\) y \(-120\).
\[=\frac{(20x+\,\,\,\,\,)(20x-\,\,\,\,\,)}{20}\]
Ahora, como estos binomios tienen diferente signo, buscamos dos números cuya diferencia sea \(7\) y cuyo producto sea \(120\). Estos números son \(15\) y \(8\).
\[=\frac{(20x+15)(20x-8)}{20}\]
Se saca factor común de cada binomio.
\[=\frac{5(4x+3) \cdot 4(5x-2)}{20}\]
Se simplifica
\[=\frac{{\color{var(--algebra)}\cancel{5}} (4x+3) \cdot {\color{var(--algebra)}\cancel{4}}(5x-2)}{{\color{var(--algebra)}\cancel{20}}}\]
\[20x^{2}+7x-6=(4x+3)(5x-2)\]
3. Factorizar \(18a^{2}-13a-5\)
\[=\frac{324a^{2}-18(13a)-90}{18}\]
\[=\frac{\left(18a\right)^{2}-13(18a)-90}{18}\]
Aplicando las reglas, tendremos:
\[=\frac{(18a-\,\,\,\,\,)(18a+\,\,\,\,\,)}{18}\]
Ahora, como estos binomios tienen diferente signo, buscamos dos números cuya diferencia sea \(13\) y cuyo producto sea \(90\). Estos números son \(18\) y \(5\).
\[=\frac{(18a-18)(18a+5)}{18}\]
\[=\frac{18(a-1)(18a+5)}{18}\]
\[=\frac{{\color{var(--algebra)}\cancel{18}}(a-1)(18a+5)}{{\color{var(--algebra)}\cancel{18}}}\]
\[18a^{2}-13a-5=(a-1)(18a+5)\]
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Ejercicios
Factorice los siguientes polinomios:
\[2x^{2}+3x-2\]
\[3x^{2}-5x-2\]
\[6x^{2}+7x+2\]
\[5x^{2}+13x-6\]
\[6x^{2}-6-5x\]
\[12x^{2}-x-6\]
\[4a^{2}+15a+9\]
\[3+11a+10a^{2}\]
\[12m^{2}-13m-35\]
\[20y^{2}+y-1\]
\[8a^{2}-14a-15\]
\[7x^{2}-44x-35\]
\[16m+15m^{2}-15\]
\[2a^{2}+5a+2\]
\[12x^{2}-7x-12\]
\[9a^{2}+10a+1\]
\[20n^{2}-9n-20\]
\[21x^{2}+11x-2\]
\[m-6+15m^{2}\]
\[15a^{2}-8a-12\]
\[9x^{2}+37x+4\]
\[44n+20n^{2}-15\]
\[14m^{2}-31m-10\]
\[2x^{2}+29x+90\]
\[20a^{2}-7a-40\]
\[4n^{2}+n-33\]
\[30x^{2}+13x-10\]
6. Trinomio de la forma \(ax^{2}+bx+c\)
6.2. Caso especial
Ejemplos
1. Factorizar \(15x^{4}-11x^{2}-12\)
\[=\frac{225x^{4}-15(11x^{2})-180}{15}\]
\[=\frac{\left(15x^{2}\right)^{2}-11(15x^{2})-180}{15}\]
Aplicando las reglas, tendremos:
\[=\frac{(15x^{2}-\,\,\,\,\,)(15x^{2}+\,\,\,\,\,)}{15}\]
Ahora, como estos binomios tienen diferente signo, buscamos dos números cuya diferencia sea \(11\) y cuyo producto sea \(180\). Estos números son \(20\) y \(9\).
\[=\frac{(15x^{2}-20)(15x^{2}+9)}{15}\]
\[=\frac{5(3x^{2}-4)\cdot 3(5x^{2}+3)}{15}\]
\[=\frac{{\color{var(--algebra)}\cancel{5}}(3x^{2}-4)\cdot {\color{var(--algebra)}\cancel{3}}(5x^{2}+3)}{{\color{var(--algebra)}\cancel{15}}}\]
\[15x^{4}-11x^{2}-12=(3x^{2}-4)(5x^{2}+3)\]
2. Factorizar \(12x^{2}y^{2}+xy-20\)
\[=\frac{144x^{2}y^{2}+12(xy)-240}{12}\]
\[=\frac{\left(12xy\right)^{2}+(12xy)-240}{12}\]
\[=\frac{(12xy+16)(12xy-15)}{12}\]
\[=\frac{4(3xy+4)\cdot 3(4xy-5)}{12}\]
\[=\frac{{\color{var(--algebra)}\cancel{4}}(3xy+4)\cdot {\color{var(--algebra)}\cancel{3}}(4xy-5)}{{\color{var(--algebra)}\cancel{12}}}\]
\[12x^{2}y^{2}+xy-20=(3xy+4)(4xy-5)\]
3. Factorizar \(6x^{2}-11ax-10a^{2}\)
\[=\frac{36x^{2}-6(11ax)-60a^{2}}{6}\]
\[=\frac{\left(6x\right)^{2}-11(6ax)-60a^{2}}{6}\]
\[=\frac{(6x-15a)(6x+4a)}{6}\]
\[=\frac{3(2x-5a)\cdot 2(3x+2a)}{6}\]
\[=\frac{{\color{var(--algebra)}\cancel{3}}(2x-5a)\cdot {\color{var(--algebra)}\cancel{2}}(3x+2a)}{{\color{var(--algebra)}\cancel{6}}}\]
\[6x^{2}-11ax-10a^{2}=(2x-5a)(3x+2a)\]
4. Factorizar \(20-3x-9x^{2}\)
Ordenando respecto a \(x\) tenemos:
\[-9x^{2}-3x+20\]
Para eliminar el signo \(-\) de \(-x^{2}\) introducimos en un paréntesis precedido del signo \(-\) y cambiando los signos dentro del paréntesis:
\[-\left(9x^{2}+3x-20\right)\]
Aplicando las reglas, tendremos:
\[=\frac{-\left(81x^{2}+9(3x)-180\right)}{9}\]
\[=\frac{-\left(\left(9x\right)^{2}+9(3x)-180\right)}{9}\]
\[=\frac{-(9x+15)(9x-12)}{9}\]
\[=\frac{-3(3x+5)\cdot 3(3x-4)}{9}\]
\[=\frac{-{\color{var(--algebra)}\cancel{3}}(3x+5)\cdot {\color{var(--algebra)}\cancel{3}}(3x-4)}{{\color{var(--algebra)}\cancel{9}}}\]
\[=-(3x+5)(3x-4)\]
Para que desaparezca el signo \(-\) de la expresión \(-(3x+5)(3x-4)\), basta con cambiar el signo a un factor \(-(3x-4)=(-3x+4)=(4-3x)\). Por lo tanto:
\[20-3x-9x^{2}=(3x+5)(4-3x)\]
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Ejercicios
Factorice los siguientes polinomios:
\[6x^{4}+5x^{2}-6\]
\[5x^{6}+4x^{3}-12\]
\[10x^{8}+29x^{4}+10\]
\[6a^{2}x^{2}+5ax-21\]
\[20x^{2}y^{2}+9xy-20\]
\[15x^{2}-ax-2a^{2}\]
\[12-7x-10x^{2}\]
\[21x^{2}-29xy-72y^{2}\]
\[6m^{2}-13am-15a^{2}\]
\[14x^{4}-45x^{2}-14\]
\[30a^{2}-13ab-3b^{2}\]
\[7x^{6}-33x^{3}-10\]
\[30+13a-3a^{2}\]
\[5+7x^{4}-6x^{8}\]
\[6a^{2}-ax-15x^{2}\]
\[4x^{2}+7mnx-15m^{2}n^{2}\]
\[18a^{2}+17ay-15y^{2}\]
\[15+2x^{2}-8x^{4}\]
\[6-25x^{8}+5x^{4}\]
\[30x^{10}-91x^{5}-30\]
\[30m^{2}+17am-21a^{2}\]
\[16a-4-15a^{2}\]
\[11xy-6y^{2}-4x^{2}\]
\[27ab-9b^{2}-20a^{2}\]
